1 / 95

Matematikai logika alapjai

Matematikai logika alapjai . K észítette Takács Márta ÓE, NIK, IMRI Az ÓE Informatikus mérnök MsC tanítási segédleteként. Források. Pásztorné Varga Katalin , Várterész Magda, A matematikai logika alkalmazáselméletű tárgyalása , Panem Kiadó Kft. - 2003 - ISBN: 9789635453641

gitel
Télécharger la présentation

Matematikai logika alapjai

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. Matematikai logika alapjai Készítette Takács Márta ÓE, NIK, IMRI Az ÓE Informatikus mérnök MsC tanítási segédleteként Matematikai logika

  2. Források Pásztorné Varga Katalin , Várterész Magda, A matematikai logika alkalmazáselméletű tárgyalása, Panem Kiadó Kft. - 2003 - ISBN: 9789635453641 Ésik Zoltán (SZTE Informatikai Tanszékcsoport) Logika a számtastudományban Logika és informatikai alkalmazásai Varterész Magdolna, Uni-Deb http://www.inf.unideb.hu/~varteres/logika/Logikafo.pdf Pásztorné Varga Katalin előadásfóliák (ELTE) Bércesné Novák Ágnes Elsőrendű logika, doksi.hu www.banki.hu/jegyzetek/mat/szma/szma_1_felev/bmf-logika.pdf Matematikai logika

  3. Nulladrendű logika (ítéletkalkulus) Matematikai logika Formalizált nyelv: szintaxis és szemantika Szintaxis: • Jelkészlet • Formulaképzés szabályai Szemantika: • A helyes szintaxisú formulák jelentése

  4. Szintaxis Matematikai logika Jelkészlet: 1. Betűk (ítéletváltozók)-atomok(p,q,r,…) 2. ¬, ∧, ∨, (→,↔…) 3. I, H (1,0)-atomok 4. Zárójelek

  5. Formula Matematikai logika Minden atom formula Ha α, β formula akkor ¬α, α∧β, α∨β, α→β is formulák a fenti két szabály véges sokszori alkalmazásával kapjuk a formulákat.

  6. Formulák A formulákban zárójelezéssel hangsúlyozhatjuk a műveleti prioritásokat A magyar kisbetűkkel az atomi formulákat, a görög betűkkel (vagy nagybetűkkel) az összetett formulákat jelöljük általában. Az alapformulák halmaza szűkíthető, hiszen pl. ¬α∨β és α→β kiértékelése megegyezik. Matematikai logika

  7. Szemantika Matematikai logika A jelkészlet elemeit értelmezzük. A betűk az ún. ítéletváltozók. Ítélet: a köznapi nyelv kijelentő mondatainak, kijelentéseinek felelnek meg. A klasszikus logikában csak olyan kijelentésekre gondolunk, amelyek igaz vagy hamis volta egyértelműen eldönthető. Ezáltal egyfajta ítéletet képviselnek e mondatok. Változók: mert az eredeti kijelentés tartalmától függetlenül, csakis annak igazságértékeit vehetik fel: az igaz, vagy a hamis értékek valamelyikét. Az igazságértékek tehát az ítéletváltozók lehetséges értékei, jelöljük ezek a halmazát I- -vel. I- csak a klasszikus logikában kételemű halmaz.

  8. Szemantika Matematikai logika Azt a függvényt, amely a betűkkel jelölt változókhoz hozzárendeli a lehetséges igazságértékek valamelyikét, interpretációnak hívjuk. Az interpretációkat az igazságtáblába foglaljuk, amelynek n változó esetében 2n sora van. Az I és H rögzített igazságértékű (Igaz, Hamis)- ítélet-konstansok.

  9. Az I betű igazságértéke minden interpretációban legyen igaz, a H betű igazságértéke minden interpretációban legyen hamis. A többi ítéletváltozó esetében az igazságérték az interpretációtól függ. A zárójelek értelmezése és használata a matematikában szokásos módon történik: lényegében a műveletek kiértékelési sorrendjét tudjuk általuk meghatározni. A ∧ , ∨ , → ... jelek az igazságértékeken értelmezett műveleteknek felelnek meg. A műveletek definícióját tekinthetjük kiértékelésnek, kiértékelési szabálynak. Matematikai logika

  10. IGAZSÁGTÁBLÁK, Alapformulák szemantikája Matematikai logika

  11. Egyváltozós művelet Matematikai logika Negáció (tagadás): Igazságtáblázat:

  12. Kétváltozós műveletek Konjunkció A∧B: informális jelentése: és. Példa: hat osztható kettővel és hat osztható hárommal A mondat „formalizálása”: P: hat osztható kettővel Q: hat osztható hárommal hat osztható kettővel és hat osztható hárommal: P∧Q Mikor gondoljuk igaznak ezt a két kijelentés összetételével kapott mondatot? A konjunkció akkor és csak akkor igaz, ha mindkét változó igazságértéke igaz. Matematikai logika

  13. Diszjunkció A∨B: informális jelentése: vagy . Példa: hat osztható kettővel vagy hat osztható hárommal A mondat „formalizálása”: P: hat oszthtó kettővel Q: hat osztható hárommal hat osztahó kettővel vagy hat osztható hárommal: P ∨ Q Mikor gondoljuk igaznak ezt a két kijelentés összetételével kapott mondatot? A diszjunkció akkor és csak akkor hamis, ha mindkét változó igazságértéke hamis. Matematikai logika

  14. Implikáció A→B : informális jelentése: ha A, akkor B. Példa: Ha az iskolai tanulmányai alatt a hallgató minden félévben legalább jeles átlageredményt ért el, akkor az állam egy aranygyűrűt ad ajándékba a diploma kiosztásakor. Formalizáljuk ezt a mondatot! Mikor gondoljuk igaznak ezt a két kijelentés összetételével kapott mondatot? Az implikáció akkor és csak akkor hamis, ha az első operandusa (előtagja, feltétele) igaz, a második operandusa (utótagja, következménye) hamis. Matematikai logika

  15. Ekvivalencia (mint logikai művelet) Jelentése A akkor és csak akkor ha B, jelölése A↔B mint művelet az implikációból és a konjunkcióból származtatható: Def.: α↔β:= (α→β)∧(β→α) Az A↔B ekvivalencia csak akkor igaz, ha Aés Bigazságértéke ugyanaz. Megjegyzés: Az alapjelkészletben nem kell szerepelnie a ↔ jelnek, hiszen definícióban megadott formula rövidítéseként vezettük be. Matematikai logika

  16. Kérdés: Bevezethetőek-e további kétváltozós műveletek? Igen, pl. a kizárólagos vagy (nem igaz, ha mindkét állítás igaz) Mitől függ az interpretációs sorok száma? A változók számától. Matematikai logika

  17. 1. példa:Adja meg az ((A∨B) ∧C) → (A∧¬B) formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

  18. 2. példa:Adja meg az ((A∨B) ∧(A ∨ C)) → (A ∨ (B ∧ C)) formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

  19. 3. példa:Adja meg az ((A → B))(AB) formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

  20. 4. példa:Adja meg az (A)A formula kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

  21. Tautológia, ellentmondás, modell Matematikai logika Def.: Tautológia (azonosan igaz formula, érvényes formula): Az a formula, amely minden interpretációban igaz (például a 3. példabeli formula). Def.: Kontradikció (ellentmondás, azonosan hamis, kielégíthetetlen): Az a formula, amely minden interpretációban hamis (például a 4. példabeli formula). Def.: Modell: modellnek nevezzük azt az interpretációt, amelyben a formula igaz. Pl. az első példabeli formula 2.,3., 4. 6., 7. és 8. sorban levő interpretációja modell.

  22. A kétértékű logikában érvényes az ún. harmadik (érték) kizárásának elve, amelyet például az alábbi formulákkal is megfogalmazhatunk: A∧¬A=H (kontradikció) – ez azt jelenti, hogy az A ítéletváltozó az {igaz, hamis} értékek közül pontosan egyet vehet fel (kétértékű logika). A v ¬A=I (tautológia) – ez informálisan azt jelenti, hogy az A ítéletváltozó az {igaz, hamis} értékek közül legalább az egyiket felveszi. Matematikai logika

  23. Matematikai logika • Kérdések: • Mi a tautológia tagadása? • Mi a kontradikció tagadása? • kielégíthető formulák • van modellje vagy • tautológia • Kielégíthetetlen formula • nincs modellje • kontradikció, ellentmondás

  24. Adjuk meg az (A →B) és a (¬AB) formulák kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

  25. Adjuk meg az (A →B) és a (A¬B) formulák kiértékelését minden interpretációban! Matematikai logika

  26. Ekvivalens formulák Matematikai logika Def.: két formula, α és β, ekvivalens ha minden interpretációban megegyezik az igazságértékük. (A két formula közös igazságtáblájában a kiértékelésnek megfelelő oszlopok azonosak) Jelölés: α ≡β

  27. Igazoljuk, hogy ekvivalensek a következő formulák (A →B) ↔ (¬ AB) és (¬(A →B)) ↔ (A¬B) és ¬(A  B) ↔ (¬ A∧¬B)) Matematikai logika

  28. Példák fontos ekvivalens formulákra Matematikai logika A→B≡¬A∨B De Morgan azonosságok ¬(A∨B)≡¬A∧¬B ¬(A∧B)≡¬A∨¬B

  29. Matematikai logika 1.b. A∧B≡B∧A 2.b. (A∧B)∧C≡A∧(B∧C) 3.b. A∧(A∨B)≡A 4.b. H∧A≡H 5.b. A∧(B∨C)≡(A∧B)∨(A∧C) 6.b.A∧¬A≡H 7.b A ∧ I ≡ A

  30. 1.a. A∨B≡B∨A 2.a. (A∨B)∨C≡A∨(B∨C) 3.a. A∨(A∧B)≡A 4.a. I∨A≡I 5.a. A∨(B∧C)≡(A∨B)∧(A∨C) 6.a. A∨¬A≡I 7.a. A ∨ H ≡ A Matematikai logika

  31. Halmazelméletben is hasonló azonosságok igazak Matematikai logika 1.a. A∪B=B∪A 1.b. A∩B=B∩A 2. a. (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 2.b. (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 3. a. A∪(A∩B)=A 3.b. A∩(A∪B)=A 4. a. U ∪ A=U 4.b. ∅∩A=∅ 5. a. A∪(B∩C)= (A∪B) ∩ (A∪C) 5.b. A∩(B∪C)= (A∩B) ∪(A∩C) 6. a. A∪A= U 6.b. A∩ A=∅ Az olyan struktúrákat, amelyekben két művelet van definiálva, és van két kitüntett elem, amelyekre a fenti azonosságok igazak, BOOLE ALGEBRÁnak nevezzük. További példa: a valószínűségszámításban Boole algebrát alkotnak az események.

  32. Matematikai logika Kérdés: Ha α és β ekvivalens formulák, mit tudunk mondani az α↔β formuláról? Lemma: Minden (eddig felírt) igazságtábla igaz úgy is, ha az atomok helyett formulákat írunk.

  33. Matematikai logika • Lemma: α és β akkor és csak akkor ekvivalens, ha α↔β tautológia. Biz.: a. α ekvivalens β ⇒ α↔β tautológia. Ha α és β igazságértéke megegyezik, akkor az ekvivalencia definíciója miatt csak igaz lehet, azaz tautológia. b. ha α↔β tautológia, akkor a formula csak igaz lehet, de ez pontosan akkor van, ha α és β igazságértéke ugyanaz, vagyis α ekvivalens β. • Tétel: Ha α tautológia, akkor az ítéletváltozók helyébe formulákat írva tautológiát kapunk. • Tétel: Ha α tautológia, akkor bármely részformula helyett azzal ekvivalens formulát írva tautológiát kapunk.

  34. Helyes következtetési szabályok Matematikai logika

  35. A logikai következmény Matematikai logika A logika egyik feladata: helyes következtetési sémák kialakítása. Példa következtetésekre : Minden veréb madár. 1.Feltétel Minden madár gerinces. 2.Feltétel Minden veréb gerinces Következmény A példát nem tudjuk nulladrendű formulákkal jól modellezni (minden?).

  36. Matematikai logika Az alábbi példa nulladrendben is jól modellezhető: Ha elfogy a benzin, az autó leáll. Feltétel1 Elfogyott a benzin. Feltétel2 Az autó leáll Következmény

  37. Formalizálás Matematikai logika A= Elfogy a benzin, B=az autó leáll. A megfelelő séma: A A→B _____________ B

  38. Korrekt jelöléssel: {A, A→B} =0B Latin szavakkal: 1. feltétel 1. Premissza 2. feltétel. 2. Premissza Következmény Konklúzió Matematikai logika

  39. Mikor helyes egy következtetési séma? Matematikai logika Def.: Modellelméleti vagy szemantikus következményfogalom: Azt mondjuk, hogy az {α1, α2, …,αn} formulahalmaz következménye a β formula, ha minden olyan interpretációban, amelyben az α1 , α2, …αn formulák igazak, β is igaz. Más szavakkal: {α1, α2, …,αn} formulahalmaz következménye a β formula, ha β legalább akkor igaz, amikor az αi-k igazak. Jelölés: {α1, α2, …,αn} =0β

  40. Megjegyzés: Mivel az elsőrendű logika követketményfogalma nem teljesen azonos a nulladrendűével, ezért az indexben szokás azt is jelölni, hogy melyik nyelvről van szó: =0 Az elsőrendű logikában a következményfogalom jele: =1 Ha β tautológia, akkor minden interpretációban igaz, tehát abban is, amelyekben az αi –k hamisak. Ezért a tautológia bármely formulahalmaz következménye. Ez indokolja a tautológia jelölését: =0 β. Matematikai logika

  41. A következményfogalom definíciójának egyszerű következményei: Matematikai logika αi-k közös modellje β-nak is modellje (fordítva az állítás nem igaz) tautológia következménye csak tautológia lehet: tautológia =0 tautológia a tautológia bármely α formula következménye: α =0 tautológia, kontradikciónak bármi lehet a következménye ( spec. A is és az A tagadása is) : Kontradikció =0α kontradikció csak kontradikciónak lehet következménye (hiszen más formula esetén igaznak kellene lennie ott, ahol a formula igaz): kontradikció =0 kontradikció

  42. Def.: Azokat a következtetési sémákat tekintjük helyesnek, amelyekben a következmény valóban a feltételek (szemantikai) következménye. Matematikai logika

  43. Példák helyes következtetési sémákra (szabályokra) Matematikai logika 1. Modus ponens (leválasztási szabály): {α, α→β } =0 β Azt kell vizsgálnuk, ahol α és α→β igaz, ott a β igaz-e. Ha igen, akkor helyes, ha nem, akkor helytelen a következtetési séma. Csak az első interpretációban teljesül, hogy α és α→β igaz. Ebben a interpretációban β is igaz, tehát valóban {α, α→β }=0β. Ítéletváltozók α β α→β I I I I H H H I I H H I

  44. Matematikai logika Tétel: α1, α2, …,αn =0 β akkor és csak akkor, α1∧α2∧ …∧αn =0 β Biz.: α1, α2, …,αn együttesen akkor és csak akkor igaz, ha α1∧α2∧ …∧αn igaz. E tétel miatt a =0jel bal oldalát a továbbiakban egyszerűen α-val jelöljük, ahol α-n mindig α=α1∧α2∧ …∧αn formulát értjük. (Mutassuk meg most a Modus ponens helyességét)

  45. Matematikai logika Feladat: Bizonyítsa be, hogy az alábbi következtetési sémák helyesek! Modus tollens (elvető mód, kontrapozíció): {α→β, ¬β } =0¬α Hipotetikus szillogizmus (feltételes szillogizmus, láncszabály): {α→β, β→γ } =0 α→γ Modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus (elvéve helyező mód): {α∨β, ¬β} =0 α Indirekt: {¬α→¬β, β } =0α

  46. Tétel: α =0β akkor és csak akkor, ha α→β tautológia. Biz.: a.) ha α =0β akkor α→β tautológia: a jelölt sor ez esetben nem lehet az igazságtáblában, ugyanis akkor α|=0 β nem teljesülne, hiszen ekkor β-nak legalább akkor kell igaznak lennie, amikor α igaz. A maradék sorokra pedig valóban az i az igazságérték. b.) ha α→β tautológia, akkor α =0 β: Ha α→β tautológia, akkor a fenti igazságtáblában jelölt sor nem szerepelhet, hanem csak a jelöletlen, I sorok. Ezekben a sorokban viszont valóban a β legalább ott igaz, ahol az α. α β α→β I I I I H H H I I H H I Matematikai logika

  47. Matematikai logika Példa: Modus ponens: {α, α→β } =0β helyes: Ítéletváltozók Formulák α β α→β (α∧(α→β)) (α∧(α→β)) → β I I I I I I H H H I H I I H I H H I H I

  48. Matematikai logika Feladat: A fenti módszerrel bizonyítsa be, hogy az alábbi következtetési szabályok helyesek! Modus tollens: {α→β, ¬β } =0¬α Hipotetikus szillogizmus: {α→β, β→γ} =0 α→γ Modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus (elvéve helyező mód) {α∨β, ¬β} =0 α Indirekt: {¬α→¬β, β } =0 α

  49. Matematikai logika Tétel: α =0 β akkor és csak akkor, ha α∧¬β azonosan hamis. Biz: α =0 β akkor és csak akkor, ha α→β tautológia, vagyis ¬(α→β) kontradikció (azonosan hamis): ¬(α→β)=¬(¬α∨β)≡¬¬α∧¬β≡α∧¬β Példa: Modus ponens {α, α→β } =0 β helyes: Ítéletváltozók Formulák α β α→β (α∧(α→β)) (α∧(α→β)) ∧¬β I I I I H I H H HH H I I H H H H I H H

  50. Matematikai logika Feladat: A fenti módszerrel bizonyítsa be, hogy az alábbi következtetési szabályok helyesek! - Modus tollens: {α→β, ¬β } =0¬α - Hipotetikus szillogizmus: {α→β, β→γ} =0α→γ - Modus tollendo ponens / diszjunktív szillogizmus (elvéve helyező mód) {α∨β, ¬β} =0α Indirekt: {¬α→¬β, β } =0α

More Related