Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki

1. Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki • Wykład 7 • Prawo przenoszenia błędów (2) • Modelowanie – najważniejsze typy rozkładów Z.L. • Prawo wielkich liczb Tomasz Szumlak, WFiIS, 12/04/2013

2. Prawo przenoszenia niepewności pomiarowych Przypomnienie z poprzedniego wykładu: wyrażamy r (Y) Z.L. jako funkcje (liniowe) n(X) niezależnych Z.L. Macierz kowariancji (miara niepewności pomiarowych) dla zmiennych niezależnych możemy zdefiniować jako: Analogicznie zapiszemy dla zmiennej zależnej: 2

3. Prawo przenoszenia niepewności pomiarowych Prawo przenoszenia błędów – znając (pomiar) R.G.P. dla zmiennych X (potrafimy wyznaczyć wartości oczekiwane, odchylenia standardowe oraz kowariancje) możemy oszacować niepewności pomiarowe Z.L. zależnej Y Dla każdej Z.L. Yk możemy zastosować rozwinięcie w szereg Taylora: Przez analogię do rozwinięcia funkcji 1 zmiennej:

4. Prawo przenoszenia niepewności pomiarowych Zapisując jawnie macierz T, jako: Niepewności pomiarowe dla zmiennych zależnych, Y, otrzymamy z: W ogólności, elementy macierzy kowariancji dla zmiennych Y, zależą nie tylko od niepewności pomiarowych zmiennych X ale również od stopnia ich skorelowania! W przypadku, gdy zmienne X są niezależne dostaniemy:

5. Prawo przenoszenia niepewności pomiarowych A teraz – dla rozluźnienia atmosfery – przykład… Wykonujemy eksperyment polegający na pomiarze stałej grawitacji g przy użyciu wahadła (spadek ciała w polu grawitacyjnym). Pomiaru dokonujemy pośrednio, mierząc okres drgań wahadła oraz jego długość: „Teoria” Obserwacje Niepewności pomiarowe

6. Prawo przenoszenia niepewności pomiarowych Rozsądnym założeniem jest, że pomiary długości wahadła i czasu drgań są niezależne. R.G.P. dla naszej zmiennej zależnej: Używając zmierzonych wielkości, dostajemy: Uwaga! Powyżej przykład numeryczny, zagadnienie wyznaczania wielkości Y na podstawie eksperymentu oraz jej niepewności omówimy dokładniejw dalszej części wykładu

7. Modelowanie – Dwumianowy R.G.P. Rozkład dwumianowy Niezwykle użyteczny w zastosowaniach praktycznych, gdy mamy do czynienia, ze zdarzeniami dzielącymi dane populacje na pary alternatyw, np. urządzenie włączone/wyłączone, mężczyzna/kobieta, żywy/martwy itp. itd. Zdarzenia takie nazywamy próbami Bernoulliego. Badając ciąg takich prób i zakładając, że poszczególne próby są od siebie niezależne oraz charakteryzują się stałym prob. sukcesu, p, i porażki, q, dochodzimy do formuły: Pamiętając o tym, że (p+q) = 1, możemy pokazać, że dla rozkładu dwumiennego mamy: Np. rzucając trzema kostkami, prob. wyrzucenia dwóch „piątek” wynosi:

8. Modelowanie – Dwumianowy R.G.P. Wartość oczekiwana i wariancja dla rozkładu dwumianowego: Istnieje dość duża liczba sposobów wyznaczenia E[X] oraz Var[X] dla rozkładu dwumianowego, poniżej dwie metody wyznaczenia wartości oczekiwanej i jedna dla wariancji. Dla pojedynczej próby, zmienna losowa Xk przyjmuje postać: zmienną X można wyrazić przez Xk: To samo, używając wprost definicji E[X]:

9. Modelowanie – Dwumianowy R.G.P. Poniżej, rozkład dwumienny, dla N = 20 oraz różnych wartości p

10. Modelowanie – R.G.P. Poissona Rozkład Poissona Załóżmy, że pewien eksperyment polega na zbieraniu (akumulowaniu) danych (Z.L. dyskretna)w funkcji czasu. Zakładamy, że prob. każdego takiego zdarzenia jest małe  << 1i w przybliżeniu stałe w czasie. Np. rozpad promieniotwórczy, rejestracja promieniowania przez licznik Geigera, buforowanie danych nadchodzących losowo (derandomizacja). Zjawiska tego typu, reprezentują zdarzenia losowe, które mogą być opisane rozkładem: Normalizację, sprawdzamy sumując wszystkie przyczynki: Wartość oczekiwana:

11. Modelowanie – R.G.P. Poissona Oraz wariancja:

12. Modelowanie – R.G.P. Poissona Rozkładu Poissona można również użyć do numerycznego przybliżania rozkładu dwumianowego Jeżeli, rozważymy bardzo długi ciąg prób Bernoulliego, dla których prob. sukcesu jest niewielkie (czujemy oczywiście subiektywność tego stwierdzenia…), czyli: wówczas (dowód na ćwiczeniach): Przykład: badania firmy XProcessing wykazały, że prob. wyprodukowania wadliwego procesora wynosi 0.12 %. Procesory są wysyłane w pakietach po 2400 sztuk. Jakie jest prob., że wysłany pakiet zawiera dokładnie 1 wadliwy procesor? Używając rozkładu dwumianowego mamy (sukces to wadliwy procesor):

13. Modelowanie – R.G.P. Poissona Porównanie rozkładów: dwumiennego i Poissona

14. Modelowanie – R.G.P. Gaussa Rozkład Gaussa (normalny) jest jednym z najczęściej używanych R.G.P. dla zmiennych losowych ciągłych. Definiujemy go jak poniżej: Można pokazać, że:

15. Modelowanie – R.G.P. Gaussa Standaryzowany rozkład normalny: Rozkład normalny zestandaryzowany pokazany jest na poprzednim slajdzie. Obliczanie odpowiednich prob. Staje się łatwe z użyciem rozkładu zmiennej X*. N.p. prob., że zmienna X* zawarta jest w przdziale -1 < X* < 1: Istota zastosowań rozkładu normalnego związana jest z faktem, że w wielu przypadkach pomiarów eksperymentalnych, które naturalnie zawierają losowe niepewności pomiarowe, rozkład tych niepewności może z dobrym przybliżeniem być reprezentowany przez rozkład normalny.

16. Modelowanie – R.G.P. Gaussa

17. Modelowanie – R.G.P. Gaussa Dystrybuanta dla funkcji R.G.P. Gaussa jest podawana w postaci tabelarycznej (trudno się całkuje) – por. slajd poprzedni.