1. Teorie ICT

2. Úvod • Tomáš Vaníček • Stavební fakulta ČVUT, Thákurova 7, Praha Dejvice, B407 • vanicek@fsv.cvut.cz • Na ČZU kancelář 414, stará budova PEF

3. Literatura • Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Teoretické základy informatiky, Kernberg Publishing, 2007 • Vaníček,J., Papík,M., Pergl,R., Vaníček,T.: Mathematical Foundation of Computer Science, Kernberg Publishing, 2008

4. Teorie množin • Množina je dobře definovaný soubor prvků • Otázka, zda prvek náleží množině, či ne, musí být jednoznačně zodpověditelná. • Prvek x náležímnožině A, x  A. • Objekt může být prvkem množiny, nebo ne. • Objekt nemůže být prvkem množiny vícekrát.

5. Rovnost množin, podmnožiny • Dvě množiny jsou si rovny, pokud mají stejné prvky. • Množina bez prvků se nazývá prázdná: ø • Množina A je podmnožinou mnoožiny B, pokud každý prvek A je i prvkem B. • Množina A je vlastní podmnožinou množiny B, pokud je A podmnožinou B a A není rovno B.

6. Operace s množinami • Sjednocení • Průnik • Doplněk • Symetrická diference • Potenční množina

7. Uspořádaná dvojice • Uspořádaná dvojice (a,b) je množina {{a,b},a}. aje první prvek dvojice. • Uspořádaná n-tice (a1,a2,…,an) může být zavedena pomocí indukce: • Pro n=2 je to uspořádaná dvojice (a1,a2) • Pro n>2 it je to uspořádaná dvojice obsahující uspořádanou (n-1)-tici (a2,…,an) a prvek a1.

8. Kartézský součin • Kartézský součin A x B je množina všech uspořádaných dvojic (a,b), kde A je z množiny A a b je z množiny B. • Kartézský součin konečného systému množin A1xA2x…xAn je množina všech n-tic (a1,…,an) kde ai je z Ai.

9. Zobrazení • Zobrazenízmnožiny A do množiny B: proněkteréprvky A existuje přesně jeden obraz v B. • Zobrazení (totální) množiny A do množiny B: Pro všechny prvky A existuje přesně jeden obraz v B. • Zobrazení z množiny A na množinu B (surjekce): Každý prvek z B má svůj vzor v A, m(a)=b

10. Zobrazení • Prosté zobrazení (injektivní)): pro různé vzory a1,a2 dostaneme různé obrazy b1,b2. • Bijekce (vzájemně jednoznačné zobrazení) je prosté zobrazení A na B.

11. Mohutnost množin • Dvě konečné množiny A,B mají stejnou mohutnost, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. • Mohutnost množiny A se značí card(A), |A|, moh(A) • Pokud card(A)≤card(B), pak existuje prosté zobrazení A do B. • Pokud card(A)≥card(B), pak existuje zobrazení A na B.

12. Mohutnost nekonečných množin • Dvě nekonečné množiny A,B mají stejnou mohutnost, pokud existuje vzájemně jednoznačné zobrazení A na B. • card(N) = card(Z) = card(Q) = aleph0 • Množina všech (nekonečných) posloupností 0,1 (L) má větší mohutnost než aleph0. • card(L)=card(R). • card(2M)>card(M)

13. Mlhavost • Možné příčiny nejistoty: • Stochastický charakter jevu (zítra bude pršet). • Kvantová nejistota (teplota vody v umyvadle je 10 stupňů) • Mlhavost pojmů (jsem vysoký člověk)

14. Fuzzy množiny • Klasická teorie množin : prvek do množiny patří, nebo nepatří. • Exisstuje charakteristická funkce množiny A A, MA. • MA = 1, pokud x  A, MA = 0, pokud není x  A. • Fuzzy množina je určena svou charakteristickou funkcí μAz univerza U na interval <0,1> • μA (x)= 1, pokud x je určitě v A. • μA (x)= 0, pokud x určitě není v A. • μAje mezi 0 a 1, pokud nevíme jistě, zda x je v A, nebo není.

15. Fuzzy množiny • Nosič A: supp(A)={xU|μA (x) > 0}. • Jádro A: core(A)={xU|μA (x) = 1}. • Výška fuzzy množiny: sup(μA (x)). • Normální fuzzy množina: Výška je rovna 1. • α-hladina fuzzy množiny A {xU|μA (x) ≥ α}. • Α-řez fuzzy množiny A {xU|μA (x) = α}.

16. Operace s fuzzy množinami • A je podmnožina of B: μA (x) ≤ μB(x) • B je doplněk of A: μB(x) = 1 - μA(x) • C je (standardní) sjednocení A a B: μC(x)=max(μA(x), μB(x)) • C je (standardní) průnik A a B:μC(x)=min(μA(x),μB(x))

17. Fuzzy čísla • Nechťa≤b≤c≤djsou 4 reálná čísla, která splňují: • μA(x)=0 , prox<a and x>d • μA(x)=1 , pro x mezi ba c • μA(x) je rostoucí meziaab. • μA(x) je klesající mezi c a d. • Takovou množinu A nazýváme fuzzy interval. • Pokud b=c nazýváme tuto množinu fuzzy číslo.

18. Relace, operace, struktury

19. K čemu slouží relace • K evidenci nějaké množiny objektů popsané pomocí jejich vlastností (atributů), viz relační algebra a relační databáze • K popisu vztahů mezi objekty jedné množiny

20. Definice relace • Relace mezi množinami A1,A2,…,An je jakákoliv podmnožina kartézského součinu A1xA2x…xAn. • n-nární relace na množině A je podmnožina kartézského součinu AxAx…xA. • Unární relace – vlastnost prvku • Binární relace – vztah mezi dvěma prvky

21. Vlastnosti relací • Reflexivní relace: pro každé x z A platí x R x • Symetrická relace: pro každá x,y z A platí: pokud x R y, pak y R x • Tranzitivní relace: pro každá tři x,y,z z A platí: pokud x R y a y R z, pak x R z

22. „Negativní“ vlastnosti • Nesymetrická relace: existuje alespoň jedna dvojice x,y z A taková, že x R y, ale nikoli y R x (opak symetričnosti) • Antisymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y a y R x, pak x=y • Asymetrická relace: pro každé x,y z A platí: pokud x R y, pak není y R x

23. Úplnost relací • Úplná relace: pro každá dvě x,y z A je buď x R y, nebo y R x • Slabě úplná relace: pro každá dvě různá x,y z A je buď x R y, nebo y R x

24. Ekvivalence • Relace • Reflexivní • Symetrická • Tranzitivní • Rozkládá nosnou množinu na třídy ekvivalence

25. Uspořádání • Kvaziuspořádání (může obsahovat ekvivalentní i neporovnatelné prvky) • Reflexivní • Tranzitivní • Částečné uspořádání (mohou existovat neporovnatelné prvky, ale ne ekvivalentní) • Reflexivní • Tranzitivní • antisymetrická

26. Uspořádání • Slabé uspořádání (mohou existovat ekvivalentní prvky, ale ne neporovnatelné) • Reflexivní • Tranzitivní • Úplná • (úplné) uspořádání • Reflexivní • Tranzitivní • Antisymetrická • Úplná

27. Uspořádání

28. Známka • U konečných a spočetných množin lze uspořádání a slabé uspořádání vyjádřit číselnou známkou: • X R y , právě když zn(x) ≤ zn(y) • U kvaziuspořádání a částečného uspořádání to nelze, potřebujeme více známek. • Některé preferenční relace nelze zařadit do žádné z kategorií uspořádání (například prahová nerozlišitelnost – není tranzitivní)

29. Ostrá uspořádání • Ostré částečné uspořádání • Ostré slabé uspořádání • Ostré (úplné) uspořádání • Není vyžadována reflexivita

30. Operace • Předpis, který dvěma, nebo více prvkům dané množiny přiřadí výsledek • n-nární operace na množině A je (n+1)-nární relace na množině, pro kterou platí, že pokud (x1,x2,…xn,y) je v relaci a (x1,x2,…,xn,z) je v relaci, pak y=z.

31. Četnost (arita) operací • Nulární (konstanta) • Unární (funkce) • Binární (klasické operace) • Ternální a vyšších řádů

32. Vlastnosti binárních operací • Úplnost: pro každá x,y existuje x ⊕ y • Komutativnost: x ⊕ y = y ⊕ x • Asociativita: (x⊕ y) ⊕ z = x⊕ (y⊕ z) • Neutrální prvek: existuje prvek ε, pro který x⊕ε = ε ⊕ x = x • Inverzní prvek: pro každé x existuje y, pro které x⊕ y = ε

33. Algebra • Množina • Systém operací • Systém vlastností (axiomů), které tyto operace splňují

34. Pologrupa, monoid • Libovolná množina • Operace ⊕ • Pologrupa • Úplná • Asociativní • Monoid • Úplná • Asociativní • S neutrálním prvkem

35. Grupa • Operace ⊕ • Úplná • Asocoativní • S neutrálním prvkem • S inverzními prvky • Abelova grupa • Navíc komutativní

36. Příklady grup • Přirozená čísla a sčítání • Nenulová reálná čísla a násobení • Permutace konečné množiny • Matice daného rozměru a sčítání • Pohyby Rubikovy kostky

37. Okruh • Množina se dvěma operacemi  a  • Vůči operaci  se jedná o Abelovu grupu • Operace  je úplná, komutativní, asociativní, má neutrální prvek • Nemusí existovat inverzní prvky vzhledem k  • Platí distributivní zákon: x (y  z)=(x y) ( y z) • Například celá čísla s operacemi násobení a sčítání • Zbytkové třídy celých čísel po dělení číslem n.

38. Obor integrity • Okruh • Navíc neexistují netriviální dělitelé nuly, tedy pokud x,y není rovno ε, pak x  y není rovno ε. • Celá čísla jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení prvočíslem p jsou obor integrity. • Zbytkové třídy po dělení neprvočíslem n jsou okruh, ale ne obor integrity • V Z6 platí 3.2=0

39. Těleso • Množina T se dvěma operacemi  a  • T a  tvoří Abelovu grupu s neutrálním prvkem ε • T-{ε} a  tvoří Abelovu grupu • Vůči okruhu se navíc požaduje existence inverzních prvků k  (tedy „možnost dělit“) • Příklady: zlomky, reálná čísla, komplexní čísla, zbytkové třídy po dělení prvočíslem, logické spojky AND a OR.

40. Svaz • Množina S se dvěma operacemi  (spojení) a  (průsek) •  a  jsou komutativní a asociativní • Platí distributivní zákony • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • a  (b  c) = (a  b)  (a c) • Absorbce: a (b  a)=a, a (b  a)=a • Idenpotence a  a = a, a  a = a • Příklady • Výrokové formule a spojky AND a OR • Podmnožiny dané množiny a operace sjednocení a průniku • Prvky částečně uspořádané množiny a operace supremum a infimum.

41. Sémantika výrokové logiky • Ohodnocení ≡ zobrazení A do {FALSE, TRUE}. • Ohodnocení formule se řídí běžnými pravidly pro logické spojky. • Výroková formule s n logickými proměnnými má 2n možných pravdivostních hodnot v závislosti na ohodnocení proměnných • •Formule je tautologieprávě tehdy, když je TRUE pro všechna možná ohodnocení proměnných. • •Formule je kontradikce právě tehdy, když je FALSE pro všechna ohodnocení. • •Formule je splnitelná právě tehdy, když existuje alespoň jedno ohodnocení, ve kterém je TRUE

42. Syntaxe výrokové logiky • Máme neprázdnou nejvýše spočetnou množinu A výrokových proměnných. • 1. Každá proměnná je výroková formule • 2. Kdyžα, βjsou formule, potom (¬α), (α∧β), (α∨β), (α⇒β), (α⇔β), případně i (α⊕β), …jsou formule. • 3. Nic jiného než to, co vzniklo pomocí konečně mnoha použití bodů 1 a 2, není výroková formule • (Konvence: vnější závorky a závorky vyplývající z priorit ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔lze vynechat) • Tak zvaná rekurzivní či induktivní definice

43. Sémantický důsledek • Matematická logika se zabývá otázkou, co lze z formulí odvodit bez ohledu na jejich význam, pouze podle struktury. • Formule ϕje (sémantickým) důsledkem množiny formulí Ψ={ψ1,ψ2,… ,ψn} právě tehdy když ϕ má ohodnocení TRUE pro každéohodnocení proměnných, kde každá z formulív Ψje TRUE. • Formule ϕ a ψjsou tautologicky ekvivalentní právětehdy když ψ je důsledkemϕ a ϕ je důsledkemψ.Značíme ϕ≡ψ. Formule jsou pravdivé pro stejná ohodnocení.

44. Úplný systém výrokových spojek • Nulárníspojky TRUE (tautologie) a FALSE (kontradikce) • Unární spojky Identita a Negace ¬ • Pro log. funkce dvou proměnných máme celkem 24možných log. funkcí (máme 22 řádků v tabulce pravdivostního ohodnocení), potřebujeme tedy vyjádřit 14 funkcí (zbylé dvě jsou opět tautologie a kontradikce). • Úplný systém log. spojek je množina log. spojek, pomocí které můžeme zapsat všechny logické funkce. • Možný úplný systém log. spojek: ¬, ∨, ∧

45. Všechny logické spojky

46. Odvozovací pravidla

47. Sémantické (logické) odvozování • Operaci odvození nové formule z množiny formulí S. Touto operacíobdržíme novou množinu formulí, kteráse skládá buď z předpokladůnebo z formulí odvozených pomocí některých odvozovacích pravidel. • Říkáme, že odvozenáformule βje log. Důsledkem S a logicky vyplývá z S. • Množina formulí S je nekonzistentní (rozporná) , právě tehdy když existuje formule α taková, že současně α a ¬α logicky vyplývají z S. Jinak říkáme, že množina Sje konzistentní (bezrozporná, zdravá).

48. Úplnost výrokové logiky • Formule ϕje sémantickýmdůsledkem množiny formulí S, pokud platí, že při každém pravdivostním ohodnocení při kterém jsou všechny formule v S pravdivé, je pravdivá také formule ϕ. • Formule ϕje logickýmdůsledkem množiny formulí S, pokud platí lze odvodit pomocí odvozovacích pravidel (existuje její důkaz). • Pokud je množina S bezrozporná, je vše, co je logickým důsledkem i sémantickým důsledkem. • Pro výrokovou logiku to platíto i naopak. Vše co je sémantickým důsledkem je i logickým důsledkem (lze to dokázat. Této vlastnosti se říká úplnost dedukčního systému.

49. Trojhodnotová (Lukasziewiczova) logika • Pravdivostní hodnoty T,F,N(nevíme)

50. Mlhavá (fuzzy) logika • Pravdivostníhodnota výroku je číslo z intervalu <0,1>. • Výrokovéspojky lze zavést anologicky k příslušným množinovým operacím.