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Continuación

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Continuación

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  1. Proyecto de Matemáticas:FuncionesPresentado por:Jonathan GuberekDaniel CroitoruMark GuberekPresentado a:Patricia CáceresCOLEGIO COLOMBO HEBREOAREA DE MATEMATICABogotaD.CMayo 2010 Continuación

  2. GENERALIDADES • Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha. • No es una función cuando: • De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha. • De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas. • Una función se puede representar tanto de forma visual, algebraica, numérica y verbal. • Una imagen es el conjunto de elementos y para los cuales existe un elemento x tal que y=f(x). Continuación

  3. Punto de corte con Y Para hallar el punto de corte con Y, se debe reemplazar en la ecuación a X por 0. Punto de corte con X Para obtenerlo se iguala la función a 0. Soluciono la ecuación hasta obtener el valor de x. Rango: Conjunto formado por las imágenes. Dominio: Es el conjunto formado por las pre imágenes que debe ser igual al conjunto de salida. Continuación

  4. Función Inyectiva • En este tipo de función se cumple la condición de que cada valor del conjunto A (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto B. De tal manera que en el conjunto A no pueden haber dos o más elementos con la misma imagen. Continuación

  5. Función Sobreyectiva • Es el tipo de función que cumple la condición de que cada elemento de Y es la imagen de mínimo un elemento de X. Continuación

  6. Función Biyectiva • Función dada cuando, se cumple que es a la vez Sobreyectiva e Inyectiva. • Cuando todos los elementos del conjunto de partida en este caso (x) tienen una imagen distinta en el conjunto de llegada, que es la regla de la función Inyectiva y que cada elemento del conjunto de salida le corresponde un elemento del conjunto de llegada, en este caso (y) que es la característica de la Sobreyectiva. Continuación

  7. Función Par Es un tipo de función que satisface o que cumple la condición de que para todo x que pertenece al dominio. f(x)=f(-X) Podría ser una función cuadrática o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x4 + 2 Continuación

  8. f(x) = x4 + 2corte con y 2mínimo relativo (0,2)eje de simetría x=0dominio=Realesrango= /2,00\conjunto salida= Realesconjunto llegada= Reales Continuación

  9. Función Impar • Función en la que todo x perteneciente al dominio Podría ser una Función cúbica o Polinómica de grado par incompleta que solo tiene c . Un ejemplo de esta sería: f(x) = x3 Continuación

  10. f(x) = x3dominio= Realesrango=Realesconjunto salida=Realesconjunto llegada=Realescorte con x= 0corte con y=0 Continuación

  11. Función PolinómicaGeneralidades • Según su grado se pueden clasificar como: Dominio= Conjunto de Salida= R Conjunto de llegada=R Continuación

  12. Racional Función a Trozos Valor Absoluto Polinómica Clases de funciones. Logarítmica Exponencial Función trigonométrica

  13. Función Polinomica. Función de Grado impar. Función de Grado par. Constante. Función lineal. Función Cuadrática. Función Cubica. MAPA CLASES FUNCIONES

  14. Funciones Lineales Generalidades Lineal Afín Idéntica MAPA POLINÓMICAS Mapa lineales

  15. Función linealGeneralidades • Y= variable dependiente • X= variable independiente • M=pendiente (grado de inclinación de la recta con respecto al eje horizontal) • B= punto de corte con el eje y. • Punto de corte con x • Dominio=reales • Conjunto de Salida= Reales • Rango=Reales(con excepción a la función constante) • Conjunto de llegada= Reales Continuación

  16. Si, m > 0 la función es creciente. • Sim < 0la función es decreciente. • Sim=0la función es constante (recta horizontal). • Ecuación para hallar la pendiente: Mapa lineales

  17. Función lineal Afín Es una función cuya ecuación matemática viene dada por: Y=mx+b Donde b es una constante que determina el punto de corte con Y, y hace el desplazamiento vertical. El punto de corte con y es distinto a 0 Continuación

  18. EJEMPLO Y=5x+5 Dominio: Reales Rango: Reales corte con x= -1 Conjunto Salida: Reales corte con y= 5 Conjunto llegada: Reales Pendiente=5 Mapa lineales

  19. Función lineal Es una función cuya ecuación matemática es: Y=mx Su corte con y siempre va a ser 0 puesto que no tiene un desplazamiento vertical . Continuación

  20. EJEMPLO Y=5x Dominio=Reales Conjunto Salida= Reales Rango= Reales Conjunto Llegada= Reales Corte con x= 0 Corte con y=0 Mapa lineales

  21. Función lineal idéntica • Es una función expresada con la fórmula: • Y=x • Donde y adquiere el mismo valor que x. • La pendiente es igual a 1. Continuación

  22. EJEMPLO Dominio=Reales Rango=Reales Conjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=Reales Punto de corte con Y=0 Punto de corte con X=0 Mapa lineales

  23. Función lineal constante • Y=a • Siendo a cualquier número. • No tiene una pendiente por lo que su rango siempre va a ser a. • Su corte con y es igual al a. Continuación

  24. EJEMPLO Y=4 Dominio=Reales Conjunto Salida=Reales corte con y=4 Rango={4} Conjunto Llegada=Reales MAPA POLINÓMICAS

  25. Función Grado Par • Es el tipo de función que se rige según la condición de que: • El mayor grado de la función es par • Si todos los terminos son de grado par, la funcion es simetrica con respecto al eje X • Se rigen según la ecuación: Continuación

  26. Corte con y =2 No tiene corte con x Vértice (0,2) Dominio= Reales Rango=(2,00) Conjunto salida=Reales Cll=Reales MAPA POLINÓMICAS

  27. Función Grado Impar • Es el tipo de función que se rige según la condición de que: • El mayor grado de la función es impar. • Se rigen según la ecuación: Continuación

  28. Dominio =conjunto salida=Realesrango =conjunto llegada=Realescorte en x≈2corte con y=3 Es creciente en(-00,3)u(2.9,00)es decreciente en(3,2.9) MAPA POLINÓMICAS

  29. Función Polinómica cuadrática • Es una función que se define mediante un polinomio de segundo grado. Esto quiere decir con un elemento elevado al cuadrado como máximo exponente. • Donde a no se puede ser igual a 0 Continuación

  30. Su representación gráfica, representaría una parábola vertical • Siendo a negativo, estaría hacia abajo. • Siendo a positivo, estaría hacia arriba. • Corte con el eje Y, al reemplazar las x por 0 • Corte con el eje X, al igualar la función con 0. La ecuación se soluciona por factorización o por fórmula general. • El máximo relativo o mínimo relativo existe dependiendo del signo de a. • Con a negativo y parábola hacia abajo habría, un máximo relativo Continuación

  31. Con a positivo y parábola hacia arriba, habría un mínimo relativo. • Tanto el Dominio como el Conjunto de Salida son Reales. El Conjunto de llegada es Reales, mientras el Rango va desde el mínimo relativo hasta infinito o desde el máximo relativo hasta infinito negativo. Continuación

  32. Y=x^2+2x+1 corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales corte con x=-1 Conjunto Llegada=Reales mínimo relativo x=-1 Dominio=Reales Creciente en=(-1, ∞) Reales=Reales positivos Decreciente en=(- ∞, -1) MAPA POLINÓMICAS

  33. Función Polinómica cúbica • Se denomina función cúbica a toda función que le rige la ecuación: • Y=ax3+bx2+cx+d • Donde a,b,c,d son números reales • Es una ecuacion de tercer grado, ya que tiene un maximo elemento elevado a la tres o al cubo Continuación

  34. Corte con x= -1 Corte con y= 1 Conjunto Salida=Reales Conjunto Llegada=Reales D=Reales R=Reales positivos MAPA POLINÓMICAS

  35. Función Valor absoluto • Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a pedazos, siguiendo los siguientes pasos: • 1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces. • 2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo. • 3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función. • 4 Representamos la función resultante. Continuación

  36. Gráfica • Decreciente si a<1 • Creciente si a>1 • El valor absoluto  de un número real es su valor numérico sin tener en cuenta su signo. • Su dominio, CS y CLL son Reales. • Su rango depende de hacia donde se desprenda, puede ser de – infinito al máximo relativo o del mínimo relativo a infinito. Continuación

  37. Y=|x| Punto corte con x= 0 Punto corte con y= 0 Dominio=Conjunto salida=Conjunto llegada= Reales Rango= (0, ∞) Decreciente en= (-∞,0) Creciente en= (0, ∞) MAPA CLASES FUNCIONES

  38. Función racional • La función racional es una función matemática expresada de la forma • Donde p , q son polinomios , x es una variable desconocida • Q≠0 • Su dominio consiste en los números reales x excepto aquellos para los que el denominador es 0. Continuación

  39. Todas las funciones racionales, tienen una asíntota vertical y horizontal,que es una línea a la que la gráfica de la función se aproxima cada vez más, pero que nunca toca . • Todas sus funciones racionales son de clase infinita, es decir, que su gráfica, al igual que sus soluciones, no tienen final. Continuación

  40. Para obtener las raíces se factoriza tanto el denominador como el numerador y se igualan cada uno de los factores a 0. Las raíces del numerador serían cortes con x mientras los del denominador cortes con y. • Asíntotas Verticales: Las asíntotas verticales ocurren donde el denominador es cero, es decir, donde la función no esta definida. • Para determinar cuando la función es en Y mayor o menor que 0, se realiza el análisis intervalo por intervalo por el proceso del cementerio. Continuación

  41. Corte con x= 3 Corte con y= 3 Asintota en y=1 Dominio=conjunto salida=reales Rango= reales-(1) Conjunto llegada=reales creciente MAPA CLASES FUNCIONES

  42. Función exponencial • La función exponencial es del tipo: • Y= ax • Sea a un número real positivo. • Y= axse llamaría función exponencial de base a y exponente x. • a no puede ser igual a 0, ya que 0 elevado a cualquier número sería igual a 0 ni a 1. ya que siendo 1, sería constante. • La función exponencial natural es la que tiene como base a e, que es igual a 2.718 • Cuando se desplaza verticalmente se le sumaría un valor c, quedando así: Continuación

  43. Dominio=conjunto salida=realesconjunto llegada=realesrango=(1,00)asíntota x=1Es crecientecorte en y=2Esta desplazada verticalmente 2 hacia arriba. MAPA CLASES FUNCIONES

  44. Función Logarítmica • Una función logarítmica la que se expresa como f (x) == logax • Siendo a la base de esta función, que ha de ser positiva y distinta de 1. • También cumpliría que • Se llama logaritmo común al logaritmo en base 10. • Se llama logaritmo natural al que tiene como base a e=2.781 Continuación

  45. Propiedades logarítmicas: • 1. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero. • 2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números. • 3. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números. • Para cambiar de base se utiliza la fórmula Continuación

  46. Crecientedominio=cs=reales positivoscll=realesrango=realesasintota x=0corte con x≈0.3 MAPA CLASES FUNCIONES

  47. Función a Trozos • En matemáticas, una función definida a trozos es una función cuya definición cambia dependiendo del valor de la variable independiente. Matemáticamente, una función real f (definida a trozos) de una variable real x es la relación cuya definición está dada por varios conjuntos distintos de su dominio o subdominios. • Su definición varía según los intervalos que se tomen en cuenta. • Se dividen en función mantisa y función signo. Continuación

  48. Función Mantisa • La función mantisa consiste en la parte decimal de un número. Su fórmula es: • mant (x) = x - [x] • Es decir, al número se le resta su parte entera, así la mantisa de los siguientes números serán: • mant(20,918) = 0,918 • mant(27,465) = 0,465 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= (0, 1) Conjunto de llegada= IR Continuación

  49. Función signo • Función que obtiene el signo de cualquier número real que se tome por entrada. Se representa generalmente mediante sgn(x). • Su dominio de definición es R y su conjunto imagen {-1;0;1}. Si x<1 f(x)= Si x=1 Dominio= IR Conjunto de salida= IR Rango= {-1; 0; 1) Conjunto de llegada= IR Si x>1 MAPA CLASES FUNCIONES

  50. Función trigonométrica • Son el tipo de funciones que guardan relación con el estudio de la geometría de los triángulos. • Se definen como el cociente entre dos lados de un triángulo rectángulo asociado a sus ángulos. • Existen seis tipos de funciones trigonométricas: • La función del seno se define como la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa. • La función del coseno se define como la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa: • La función de la tangente se define como la razón entre el cateto opuesto y el adyacente: Continuación