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Transformadas e Decomposição de Sub-banda. Joaquim Macedo Departamento de Informática da Universidade do Minho & Faculdade de Engenharia da Universidade Católica de Angola. Sumário. Tranformada Unitária 1-D Transformada Discreta de Fourier 1-D Transformada Discreta do Coseno 1-D
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Transformadas e Decomposição de Sub-banda Joaquim Macedo Departamento de Informática da Universidade do Minho & Faculdade de Engenharia da Universidade Católica de Angola
Sumário • Tranformada Unitária 1-D • Transformada Discreta de Fourier 1-D • Transformada Discreta do Coseno 1-D • Filtragem Digital e Análise de sub-banda • Filtros Digitais • Análise de sub-banda • Transformadas e Filtragem Digital • Transforma Discreta Wavelet 1-D • Tranformada Unitária 2-D • Transformada Discreta de Fourier 2-D • Transformada Discreta do Coseno 2-D • Transforma Discreta Wavelet 2-D
Transformada Discreta de Fourier 1-D • sequência discreta periódica com N amostras por período. DFT IDFT • k-ésimo coeficiente DFT
Transformada Discreta de Fourier 1-DExemplo 5.1 • Considere uma sequência de 4 pontos f={2,5,7,6}. Calcule os correspondentes coeficientes DFT. Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes DFT e das funções de base DFT
Transformada Discreta de Fourier 1-DPar alternativo • Definição do DFT alternativa • Usada por muitas concretizações (MATLAB) • Diferença apenas de escala • Ortogonal mas mas não ortonormal ou unitária
Propriedades da DFT • Convulsão • Rapidez da concretização • Conservação da Energia e Compactação
Convolução Convolução Circular
Fast Fourier Transform • Os coeficientes da DFT de N pontos podem ser calculados multiplicando a matriz de transformação 2D pela matriz 1D • O cálculo directo da DFT 1D para uma sequência de N-pontos requer N*N operações onde 1 operação = 1 multiplicação complexa + 1 adição complexa. • Há disponíveis algoritmos especiais com uma complexidade muito menor para calcular a DFT. Esses algoritmos são conhecidos como Fast Fourier Transform (FFT).
Diferentes algoritmos FFT Foram propostos na literatura vários algoritmos FFT. Alguns dos mais populares são os seguintes: • Radix-2 • Radix-4 • Split-Radix • Winograd • Prime Factor
Algoritmo Radix-2 • Radix-2 é um algoritmo popular para FFT. • Para transformada de N pontos a complexidade computaciona é borboletas onde 1 borboleta = multiplicação complexa + 2 adições complexas • O algoritmo FFT usa um arranjo dos dados que parece uma borboleta.
Conservação da Energia A Transformada de Fourier preserva a energia do sinal. A energia do sinal no domínio do tempo ou pixel é idêntica à energia no domínio da frequência. Embora a energia total não mude no domínio de Fourier, a energia é redistribuída entre os coeficientes de Fourier.
Exemplo 5.2 • Construa um sinal unidimensional dos valores de pixel da linha #100 da figura da Lena a preto e branco. Para evitar o componente DC torne o sinal com média 0 (substraia o valor da média de cada pixel). • Calcula a DFT e a energia total nos 20 primeiros coeficientes de Fourier. • Compare com a energia total do sinal.
Compactação de energia com a DFT Linha horizontal (line# 100) da imagem da lena Espectro de Amplitude
Transformada Discreta do Coseno 1-D • A Transformada Discreta do Coseno (DCT) unidimensional para a sequência de entrada f(n) é definida pelo seguinte par:
Matriz da Transformada DCT 4 pontos
Matriz da Transformada Inversa V.B.-3 V.B.-1 V.B.-2 V.B.-0 V.B.: Vectores de Base
Exemplo 5.3 • Considere uma sequência de 4 pontos f={2,5,7,6}. Calcule os correspondentes coeficientes DCT. Reconstrua a sequência de entrada a partir dos coeficientes DCT.
Exemplo 5.3 Fig 5.3,pag. 92
Propriedades do DCT Energia da Compactação A DCT tem um excelente desempenho de compatação de energia. Isto é demonstrado com um exemplo. Exemplo 5.4 Considere a linha de varrimento da imagem do Exemplo 5.2. Calcule o DCT e a energia total nos primeiros 20 coeficientes de Fourier. Compare-a com a Energia total do sinal. Compare o desempenho de compactação da energia da DCT e DFT.
Compactação da Energia com a DCT A DCT tem um excelente desempenho na compactação da energia 512 pixels: energia total = Primeiros 20 coeficientes DFT capturam 76% daa energia Primeiros 20 coficientes DCT capturam s 83% da energia
Relações com a DFT • Embora as funções de base da DCT sejam funções discretas de coseno a DCT não é a parte real da DFT. • Contudo está relacionada com a DFT. A DCT da sequência Nx1 está relacionada com a seguinte sequência DFT • Existe uma transformada DCT rápida com uma complexidade computacional de ordem • Segundo, devido à simetria par da sequência equivalente DFT, o sinal recosntruído dos coeficientes DCT quantificados terão uma melhor representação das variações bruscas.
Filtragem Digital e Análise de sub-banda • As transformadas unitárias • São muitos úteis para análise do contéudo de frequência dum sinal • Métodos alternativos para análise de frequência de sinais multimédia • Filtragem Digital • Análise de sub-banda
Filtro • Um filtro é um componente que atenua ou amplifica frequências particulares • Fácil de visualizar no domínio da frequência, onde a filtragem é uma multiplicação: • Onde F é o espectro da função, G é o espectro do filtro e H é a função filtrada. A multiplicação é ponto a ponto.
Parâmetros de Filtros Banda de passagem Banda de transição Atenuação na stopband Banda de paragem Frequência Ondulação (Ripple)
Parâmetros do Filtro Banda de Passagem: Os componentes da banda de frequência aos quais é permitido a passagem. Banda de Paragem: Os componentes da banda de frequência que são suprimidos. Banda de Transição: a banda de frequência entre a banda passagem e a de paragem onde o sinal varia de alto para baixo ou vice-versa Ondulação: a máxima variação do ganho nominal permitida na banda de passagem ou de paragem. Atenuação da Banda de Paragem: atenuação mínima dos componentes na banda de paragem.
Tipos de Filtros Lowpass (Passa-Baixo) Highpass (Passa-Alto) Bandpass (Passa-Banda) Bandstop (Para-Banda) Filtros ideais: 4 tipos básicos
Tipo de Filtros Função: F Filtro: G Resultado: H Passa-Baixo = Passa-Alto = Passa-Banda =
Tipos de Filtros Digitais Filtros FIR (Finite Impulse Response) Os filtros FIR são constituídos por funções de resposta com número finito de pulsos que são fáceis de concretizar devido ao seu comprimento finito. Filtros IIR(Infinite Impulse response) Os filtros IIR requerem uma resposta com um número infinito de pulsos que tornam a forma em convulsão difícil. Contudo, estes filtros são realizáveis.
Filtros FIR e IIR • Filtros Finite Impulse Response (FIR) Filters um númro finito de impulsos na sua resposta de impulso. Relação típica entre entrada e saída: • Os filtros Infinite Impulse Response (IIR) têm um número infinito de impulsos na sua resposta de impulso. Relação pica entre entrada e saída: output input Os filtros IIR têm geralmente um elemento de feedback
Tipos de Filtros Digitais Frequência: pulso Tempo: sinc
Fig. 5.6, pag. 95 Tipos de Filtros Digitais
Resposta de Impulso do Filtro Passa baixo Truncagem A resposta de impulso do FPB ideal tem um número infinito de impulsos
Janelas Rectangular & Hamming • Janela Rectangular • Janela Hamming Para outros valores de
Concretização de Filtros com o MatLabPassa Alto e Passa Baixo Concretize um filtro P.F e P.A. com uma frequência de cortye de 3200 Hz para um sinal de áudio amostrado ao ritmo de 8000 amostras/seg. Frequência de corte = 3200/8000 or 0.4. filter_lowpass = fir1(8,0.4) ; % 8ª ordem, i.e. 9 implusos filter_highpass = fir1(8,0.4,’high’) ;
Concretização de Filtros com o MATLABPassa Banda e Pára Banda Concretize um filtro passa banda e outro para banda com frequências de corte normalizadas de 0.4 e 0.8. filter_bandpass = fir1(8,[0.4 0.8]) filter_bandstop = fir1(8,[0.4 0.8],’stop’)
Exemplo de Filtros • Exemplos de filtros digitais FIR com 9 impulsos • A frequência de corte dos filtros passa alto e baixo é 0.4 • As frequências de corte dos filtros para e passa banda são [0.4,0.8]
Características de Ganho na Frequência Fitros de 9 Impulsos Os filtros não têm ganhos com características escarpadas
Características de Ganho na Frequência Filtros de 101-impulsos Os filtros têm características de ganho escarpadas
