Matemática Financeira

1. Matemática Financeira Matemática Financeira - Valor do Dinheiro no Tempo

2. Matemática Financeira Matemática Financeira Módulo A

3. Módulo A – Introdução a Matemática Financeira • Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de : • Compreender a importância do valor do dinheiro no tempo, da Matemática Financeira na vida das pessoas e das empresas. • Conceituar Taxa de Juros e Diagrama do Fluxo de Caixa e critérios de capitalização dos juros

4. Módulo A – Introdução a Matemática Financeira • - Porque estudar o Valor do Dinheiro no Tempo? • - Importância de se fazer um Planejamento Financeiro • - Porque estudar Matemática Financeira? • - Objetivos da Matemática Financeira

5. Módulo A – Introdução a Matemática Financeira • Preparação Prévia: - Leitura prévia do Texto 1 ou de qualquer capítulo de qualquer livro sobre o assunto

6. Módulo A – Introdução a Matemática Financeira • Organize sua vida financeira e descubra que possui mais recursos do que pensa ter para investir. • Faça um PLANEJAMENTO FINANCEIRO e responda: - Para onde vai o meu dinheiro? - Por que investir? - Mantenho minhas aplicações ou pago minhas dívidas? - Como selecionar meus objetivos? - Quais são as minhas opções de investimentos?

7. Exemplo: • Se um amigo lhe pedisse $ 1.000,00 para lhe pagar os mesmos $ 1.000,00 daqui a um ano, o que você acharia ? • Com certeza, por melhor que fosse seu amigo, a proposta não seria vista com bons olhos!!! • Alguns pontos vêm a mente: • Será que ele vai me pagar? • Será o poder de compra dos $ 1.000,00 daqui a um ano será o mesmo? • Se eu permanecesse com os $ 1.00,00, poderia aplicá-los na poupança e ganhar rendimentos?

8. Os pontos questionados remetem ao custo do dinheiro. • Ao transportar valores no tempo, existe um custo que pode ser decomposto em: • inflação • risco de crédito • taxa real de juros • Nunca some valores em datas diferentes

9. Objetivos da Matemática Financeira - Transformar fluxos de caixa em outros equivalentes, com aplicação das taxas de juros de cada período, para se levar em consideração o valor do dinheiro no tempo. - Analisar e comparar diversas alternativas de fluxos de caixa para uma mesma operação.

10. Fluxo de Caixa - Entradas e saídas de caixa de uma operação financeira ao longo do seu prazo de duração. • As operações financeiras precisam ser representadas pelos seus fluxos de caixa para poderem ser corretamente analisadas com os conceitos de matemática financeira. • As saídas de caixa correspondem aos pagamentos, têm sinais negativos e são representadas por setas apontadas para baixo. • As entradas de caixa correspondem aos recebimentos, têm sinais positivos e são representadas por setas apontadas para cima.

11. Fluxo de Caixa - Convenções Convenção de Final de Período Valores que ocorrem ao longo dos períodos são representados nos finais dos respectivos períodos. Unidades de Tempo Ano; Semestres; Trimestres; Meses e Dias

12. Valor do dinheiro no tempo • DEFINIÇÕES DE JUROS • - Remuneração do dinheiro aplicado. • - Custo do dinheiro tomado emprestado. • REGIMES DE JUROS • - Juros simples (Linear, Progressão Aritmética) • - Juros Compostos (Exponencial, Progressão Geométrica) • TAXAS DE JUROS • ___% a.d. (diárias) ___% a.a. (anuais) • ___% a.s. (semestrais) ___% a.t. (trimestrais) • ___% a.m. (mensais) • Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!!

13. Simbologia e Convenções Adotadas • Final de período -Type =0 Início de período - Type = 1 • Série postecipada (END) Série antecipada (BEGIN) • n - Número de períodos de capitalização de juros; • i - Taxa de juros em cada período, em %; • PV - Valor presente, capital inicial aplicado; • FV - Valor futuro, montante no final de n períodos; • PMT - Pagamentos periódicos de mesmo valor que ocorrem no final (end) ou no início de cada período (begin)

14. Conceitos Gerais - Juros • “Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no presente (PV) e o que é cobrado no período de tempo futuro (FV), quer seja ano, mês ou dia J = FV – PV J = PV . i

15. Conceitos Gerais - Juros • A Taxa percentual – refere-se aos “centos” do capital, ou seja, o valor dos juros para cada centésima parte do capital. • Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de: Juro = 1000 / 100 x 20 = Juro = 10 x 20 = 200 200 = remuneração do capital investido.

16. Conceitos Gerais - Juros • A Taxa unitária – refere-se a unidade de capital. Reflete o rendimento de 0,20 (20% / 100) por cada unidade de capital aplicada. • Ex: Um capital de $ 1.000, aplicado a 20% ao ano rende juro, no final deste período de: Juro = 1000 x 20 / 100 = Juro = 1000 x 0,20 = 200 200 = remuneração do capital investido.

17. Regimes de Juros • JUROS SIMPLES • Juros de cada período são sempre calculados sobre o capital inicial aplicado (principal). • Juros acumulados ao longo dos períodos não rendem apesar de ficarem retidos pela instituição financeira. • Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é linear (ou em progressão aritmética • JUROS COMPOSTOS • Juros de cada período são calculados sobre o saldo existente no início do respectivo período. • Juros acumulados ao longo dos períodos, quando retidos pela instituição financeira, são capitalizados e passam a render juros. • Crescimento do dinheiro, ao longo do tempo, é exponencial ou em progressão geométrica).

18. Próximo Módulo: Trabalharemos – Juros Simples • Preparação Prévia: - Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até item 1.11 da bibliografia básica - ou de qualquer livro sobre o assunto – Juros Simples

19. Matemática Financeira Matemática Financeira Módulo B

20. Módulo B – Juros Simples • Objetivo do Módulo: • Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de: • Desenvolver e aplicar a fórmula de juros simples, através de exercícios. • Conceituar – Montante e Capital • Compreender o significado de taxa proporcional, juro exato e comercial.

21. Módulo B – Juros Simples • Preparação Prévia: - Leitura prévia do Cap. 1 – do item 1.8 até item 1.11 da bibliografia básica - ou de qualquer capítulo de qualquer livro sobre o assunto – Juros Simples

22. Módulo B – Juros Simples • As parcelas adicionais são dadas por um valor proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação • Combinando as equações • PV é o capital inicial; Jn = PV . i . n FV = PV + Jn • FV é o montante no final do período n. • Jn são os juros acumulados até o final de n períodos de capitalização; FV= PV . ( 1+ i . n ) • n é o número de períodos capitalizados; • i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.

23. Exemplo - Juros Simples • Qual o montante equivalente a R$ 1.000,00 capitalizados a 8% ao ano em quatro anos? • Extrai-se do enunciado diretamente que PV = 1.000, i = 8% ao ano e n = 4 anos. De outra forma: FV = PV × (1+ i × n) FV = 1.000 × (1+0,08× 4) FV = 1.320,00 J = PV. i. n J = 1.000× 0,08× 4 = 320 FV = PV + J FV = 1.000 + 320 = 1.320 Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!!

24. Pagamento dos juros no final do prazo

26. EXERCÍCIOS • 1. Que montante receberá um investidor que tenha aplicado R$ 280,00 durante 15 meses, à taxa de 3% ao mês? • SOLUÇÃO: • O problema pede o valor resgatado (montante) e não os juros. Para isso basta adicionar os juros ao capital inicial. Assim, temos: VP = R$ 280,00 .......capital inicial ou principal n = 15 meses i = 3% a.m. = 0,03 a.m. • Lembrando que VF = VP(1 + i n) vem: VF = 280,00 (1 + 0,03*15) = 280,00 * 1,45 = 406,00, isto é, VF = R$ 406,00 • Solução deste problema também pode ser obtida do seguinte modo: J = 280,00 * 0,03 * 15 = 126,00 como VF = VP + J = 280,00 + 126,00 = 406,00 ou seja VF = R$ 406,00 • Com a CALCULADORA FINANCEIRA HP 12C, temos: f FIN ...limpa os dados dos registros financeiros f 2 ...estabelece o número de casas decimais 280 CHS PV ...muda o valor atual para negativo e armazena em PV 3 ENTER 12 x i ...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (3% x 12) 15 ENTER 30 x n ...Devemos entrar com o tempo em dias (15 x 30) f INT ... Com este comando a calculadora apresentará, no visor, o valor dos juros: R$ 126,00

27. EXERCÍCIOS • 1. Um investidor aplicou R$ 2.500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e, ao resgatá-las, após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2.590,00. • a. Quanto recebeu de juros? • b. A que taxa esteve aplicado seu capital durante esse período? • 2. Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo, pagou, antecipadamente, 22% de juros, conforme previa o contrato. • a. Quanto pagou de juros? • b. Se os juros foram retidos na data da liberação do empréstimo, qual foi a quantia efetivamente liberada? • 3. Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10% ao mês. Calcule o montante no fim de cada mês nos regimes de capitalização simples. • 4. Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações financeiras: • a. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$ 80.000,00 após dois anos. • b. A compra de um objeto, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, em 12 prestações mensais de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da compra. • c. Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada mês durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o último depósito.

28. EXERCÍCIOS 5.Qual o capital inicial para se ter um montante de R$ 148.000,00 daqui a 18 meses, a uma taxa de 48% ao ano, no regime de juro simples? Resp: 86.047,00. 6. Uma pessoa consegue um empréstimo de R$ 86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10 meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine a taxa de juro anual cobrada? Resp: 42% ao ano. 7. Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano, para obtermos um montante de R$ 832.000,00? Resp: 3 meses. 8.Uma loja vende toca-fitas por R$ 15,00 à vista. A prazo, vende por R$ 16,54 , sendo R$ 4,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada? Resp: 3,5% ao mês.

29. Taxas de Juros -TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas são proporcionais quando os seus valores formam uma proporção direta com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade. • Juro Exato Calendário do ano civil (365 dias) • Juro Comercial que admite o mês com 30 dias e o ano com 360 dias Sendo i a taxa de juro relativa a um período e ik a taxa proporcional que queremos determinar, relativa à fração 1/k do período, temos: EXEMPLO: Calcule a taxa mensal proporcional a 30% ao ano? Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos: • i12 = 30/12 = 2,5 isto é 2,5% a . m.

30. EXERCÍCIOS PROPOSTOS • 1. Transformar 2 anos, 3 meses e 12 dias em: a . Anos b. meses c. dias Resp:- 2,28 anos; 27,4 meses; 832 dias • 2. Qual a taxa anual proporcional a 1,4% ao mês? Resp:- 16,8% a . a . • 3. Calcular os juros de um investimento de R$ 2.500,00, à taxa de 3% ao mês, pelo prazo de 1 ano, 4 meses e 10 dias. Resp:- R$ 1.225,00 • 4. Um investimento de R$ 2.800,00 rendeu em 1 ano, 5 meses e 3 dias a importância de R$ 2.872,80. Calcular a taxa mensal dessa rentabilidade. Resp:- 6% a . m. • 5. Que quantia deve-se investir à taxa de 3% a . m., para que se tenha ao final de 1 ano, 4 meses e 6 dias uma renda de R$ 97.200,00? Resp:- R$ 200.000,00 • 6. Calcular os juros e o montante de uma aplicação de R$ 200.000,00 a 4,8% a . m., pelo prazo de 2 anos, 3 meses e 12 dias. Resp:- R$ 263.040,00 e R$ 463.040,00 • 7. Um investidor aplica 2/5 de seu capital a 3,5% a . m. e o restante a 24% ao semestre. Decorridos 2 anos, 3 meses e 15 dias, recebe um total de R$ 313.500,00 de juros. Calcular o seu capital. Resp:- R$ 300.000,00

31. Matemática Financeira Matemática Financeira Módulo C

32. Objetivo do Módulo: Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de: Desenvolver e aplicar a fórmula de juros compostos, através de exercícios. Conceituar – Taxa Nominal e Efetiva Compreender o significado de taxas equivalentes. Módulo C – Juros Compostos

33. Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o novo capital Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras Juros Compostos FV = PV x (1+i)n • PV é o capital inicial; • FV é o capital disponível ou exigível no final do período n, ou montante; • n é o número de períodos capitalizados; • i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.

34. Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos? Exemplo: Note que os juros em cada período equivalem a 50% do saldo devedor no início do mesmo período

35. Aplicando a fórmula: Suponha que você coloque $1.000 (VP) numa aplicação rendendo uma taxa de juros (i) de 10% a.a. A quantia que você terá daqui a cinco anos, assumindo que você não sacou nada da conta antes disso, é chamada valor futuro (VF). Taxa ( i ) e Número de Períodos ( n ) devem estar sempre na mesma base!! Seu valor futuro no final do ano 5 seria, então: VF = VP x (1 + i)n = VF = 1.000 x (1 + 0,10)5 VF = 1.000 x 1,61051 => Fator de capitalização VF = 1.610,51

36. VF = VP ( ) n + 1 i ( ) 1 n = + VF VP 1 i æ ö VF VF n = - = - ç ÷ i 1 1 n VP VP è ø æ ö VF ç ÷ log VP è ø = n + log( 1 i ) Fórmulas de Juros Compostos

37. Funções Financeiras da HP 12C [n]: abastece ou calcula o número de períodos [i]: abastece ou calcula a taxa de juros [PV]: abastece ou calcula o Valor Presente [PMT]: abastece ou calcula a Prestação [FV]: abastece ou calcula o Valor Futuro

38. VF = VP x (1 + i)n = VF = 2.000 x (1 + 0,01)24 VF = 2.000 x 1,261973 VF = 2.539,47

39. VP = VF / (1 + 0,0125)24 VP = 1.000 / 1,34735 VP = 742,20

40. VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n VP 1.150 = (1 + i)1/10 = 1,151/10 = ((1 + i)1/10)1/10 1.000 1,0140743 = 1 + i I = 0,0140743 * 100 = 1,40743% a.m.

41. VF = VP x (1 + i)n = VF = (1 + i)1/n VP log VF n =. VP = log (1 + 0,06) n = 0,30103. = 11,89 anos 0,02531

42. Taxas de Juros

43. Taxas de Juros -TAXAS EQUIVALENTES • Duas taxas são equivalentes quando, aplicadas a um mesmo capital, durante o mesmo período, produzem o mesmo juro. EXEMPLO: Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00 à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres SOLUÇÃO • No primeiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00 • No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00 • Como os juros são iguais, podemos dizer que: 4% a . m. e 12% a . t., são taxas equivalentes

44. Taxas de Juros

49. Matemática Financeira Matemática Financeira Módulo D

50. Objetivo do Módulo: Ao final deste módulo o aluno deve ser capaz de: Desenvolver e aplicar as fórmulas de desconto Comercial - “por fora” e desconto Racional - “por dentro” Definir Valor Nominal e Valor Atual. Módulo D – Desconto