1 / 12

ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom. Nilai Eigen Definisi :

linore
Télécharger la présentation

ALJABAR MATRIKS pertemuan 12 Oleh : L1153 Halim Agung,S.Kom

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. ALJABAR MATRIKSpertemuan12 Oleh :L1153Halim Agung,S.Kom

  2. Nilai Eigen Definisi : MisalkanA adalahsuatumatriks n x n. skalarλdisebutsebagaisuatunilaieigenataunilaikarakteristikdari A jikaterdapatsuatuvektortaknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebutnilaieigenatauvektorkarakteristikdariλ Contoh : Misalkan A = dan x = Karena Ax = Dari persamaaniniterlihatbahwaλ = 3 adalahnilaieigendari A dan x = (1,2)Tmerupakanvektoreigendariλ PersamaanAx = λx dapatdituliskandalambentuk (A – λI) x = 0 Jadiλadalahnilaieigendari A jikadanhanyajikapersamaandiatasmemilikisuatupenyelesaiantaktrivial. Ruangbagian N(A – λ I ) = 0 dinamakanruangeigen (eigen space) yang berhubungandengannilaieigenλ

  3. PersamaanAx = λx akanmempunyaipenyelesaiantaktrivialjikadanhanyajika (A – λI) singular atausecaraekuivalen Det (A – λ I) = 0 ….. (2) Jikadeterminanpadapersamaandiatasdiuraikan , akankitadapatkansuatupolinomberderajatke-n dalampeubahλ P( λ ) = Det (A – λ I) Polinominidisebutpolinomkarakteristikdanpersamaan (2) disebutpersamaankarakteristikuntukmatriks A. Akardaripolinomkarakteristikadalahnilaieigendari A.

  4. Contoh : Carilahnilai – nilaieigen dan vektoreigen yang bersesuaiandenganmatriks A = Penyelesaian : Persamaankarakteristiknyaadalahatauλ2 – λ – 12 = 0 Jadinilaieigendari A adalahλ1 = 4 danλ2 = -3. Untukmencarivektoreigen yang dimilikiolehλ1 = 4, kitaharusmenentukan kernel (ruangnol) dari A – 4 I. A – 4 I = Denganmenyelesaikan (A – 4 I ) x = 0 , kitamendapatkan x = (2x2 , x1)T . Jadisemuakelipatantaknoldari (2 ,1)Tadalahvektoreigenmilikλ1dan {(2,1)T} adalahsuatu basis untukruangeigen yang bersesuaiandenganλ1

  5. Kesimpulan : Misalkan A adalahmatriks n x n danλadalahsuatuskalar. Pernyataan – pernyataanberikutiniadalahekuivalen. (a). λadalahnilaieigendariλ (b). (A - λI) x = 0 mempunyaipenyelesaiantaktrivial (c). N (A - λI) ≠ {0} (d). A - λI adalah singular (e). Det (A - λI) = 0

  6. Latihan • Carilahnilai – nilaieigendanruangeigen yang bersesuaianuntuksetiapmatriksberikutini : • A = • B = • C = • D =

  7. SistemPersamaanDiferensial Linear Pertamakitatinjausistempersamaanordesatu yang berbentuk : Y11 = a11y1 + a12y2 + … + a1nyn Y21= a21y1 + a22y2 + … + a2nyn … Yn1= an1y1 + an2y2 + … + annyn Dimanayi = fi (t) adalahfungsi C1[a,b] untuksetiapi. Jikamisalkan Y = dan Y1 = makasistemtersebutdapatdituliskandalambentuk Y1 = AY Y dan Y1 keduanyaadalahfungsivektordari t. Jelas , fungsiapapun yang bentuknya y(t) = c.eλt (c adalahkonstantasembarang) memenuhipersamaanini. Generalisasialamidaripenyelesaianiniuntukkasus n > 1 mengambil Y = Dimana x = {x1 , x2 , … , xn}T.

  8. Contoh : Selesaikansistemberikutini : Y11 = 3y1 + 4y2 Y21 = 3y1 + 2y2 Penyelesaian : A = Nilaieigendari A adalahλ1 = 6 danλ2 = -1. Vektoreigendariλ1adalah x1 = (4,3)Tdanvektoreigendariλ2adalah x2 = (1,-1)T . Jadifungsivektorapapun yang berbentuk Y = = adalahpenyelesaiandarisistemtersebut.

  9. Latihan • Carilahpenyelesaianumumuntuksuatusistemberikutini : • Y11 = y1 + y2 dan Y21 = -2y1 + 4y2 • 2. Y11= y1- 2y2dan Y21 = -2y1 + 4y2 • 3. Y11= 3y1 - 2y2dan Y21 = 2y1+ 3y2

  10. Diagonalisasi Teorema : Jikaλ1 , λ2 , … λn adalahnilai – nilaieigen yang berbedadarimatriks A berordo n x n, denganvektor – vektoreigen yang Bersesuaian x1 , x2 , … , xkmaka x1 , x2 , … xkadalahbebas linear Definisi : Suatumatriks A berordo n x n disebutdapatdidiagonalisasijikaterdapatmatriks X singular dansuatumatriks diagonal D sedemikianrupasehingga X-1AX = D Kita katakanbahwa X mendiagonalisasi A.

  11. Contoh : Misalkan A = Nilaieigendari A adalahλ1 = 1 danλ2 = -4 Vektor – vektoreigen x1 = (3,1)T dan x2 = (1,2)T Misalkan X = Makaselanjutnya X-1AX = = D Dan XDX-1 = = A

  12. Latihan Padasetiapsoalberikutini, faktorkanmatriks A kedalamhasil kali XDX-1, dimana D adalah diagonal A = B =

More Related