Prof.dr.ir. Alexander Verbraeck Sectie Systeemkunde

1. TB week 1: Wachtrijtheorie en SimulatieWaarom duurt wachten lang en wat kunnen we er aan doen met simulatie Prof.dr.ir. Alexander Verbraeck Sectie Systeemkunde

2. Wachtrijen... • Op de weg (net te laat weg, en dan loop je vast) • In de supermarkt (en dan net de verkeerde rij kiezen) • Bij het call-centrum via de telefoon (er zijn nog 68 wachtenden voor u...) • In de kantine (door een nieuw kassasysteem...) • In de fabriek (onderdelen die op verwerking liggen te wachten) • Op kantoor (stapels dossiers en lijsten met e-mails die nog afgehandeld moeten worden) • Vliegtuigen die rondcirkelen voordat ze kunnen landen

3. Waarom wachtrijen? • Waar komen de wachtrijen vandaan en waarom zijn ze zo hardnekkig? • Waarom zijn de wachtrijen vaak langer dan wat we op grond van ons ‘gevoel’ zouden zeggen? • Hoe goed kunnen we het optreden van wachtrijen voorspellen? • Er is theorie over wachtrijen • We kunnen wachtrijen simuleren • We kunnen de opgedane kennis toepassen

4. Hoe goed snappen we wachten (1)? • Stel dat we de tram met een frequentie volgens de dienstregeling van eens per 10 minuten willen nemen, maar we wonen halverwege het tracé, dus met alle verstoringen gedraagt de tram zich alsof hij geheel willekeurig aankomt. Gemiddeld komen er wel 6 trams per uur, maar soms zit er een groot gat, en soms zitten er twee vlak achter elkaar. • Stel ik kom op de halte aan, en ik zie daar iemand staan die zegt dat zij al 10 minuten wacht. Hoe lang moet ik dan gemiddeld nog wachten op de tram?

5. Hoe goed snappen we wachten (2)? • Stel dat we de tram met een frequentie volgens de dienstregeling van eens per 10 minuten willen nemen, maar we wonen halverwege het tracé, dus met alle verstoringen gedraagt de tram zich alsof hij geheel willekeurig aankomt. Gemiddeld komen er wel 6 trams per uur, maar soms zit er een groot gat, en soms zitten er twee vlak achter elkaar. • Stel ik kom op de halte aan, en ik zie daar iemand staan die zegt dat zij al 10 minuten wacht. Hoe lang moet ik dan gemiddeld nog wachten op de tram? • Antwoord: gemiddeld 10 minuten...

6. Hoe goed ‘snappen’ we wachten (3)? • Stel, we hebben een balie met 5 medewerkers, die elk 10 mensen per uur kunnen helpen. Er komen gemiddeld 48 mensen per uur binnen. Ze kunnen het dus makkelijk aan. Hoe lang is:de gemiddelde wachtrij?de gemiddelde wachttijd?komt de wachtrij wel eens boven de 20?boven de 10?boven de 5?

7. Hoe goed ‘snappen’ we wachten (4)? • Stel, we hebben een balie met 5 medewerkers, die elk 10 mensen per uur kunnen helpen. Er komen gemiddeld 48 mensen per uur binnen. Ze kunnen het dus makkelijk aan. Hoe lang is:de gemiddelde wachtrij 12de gemiddelde wachttijd 15 min.komt de wachtrij wel eens boven de 20 JAboven de 10 VAAKboven de 5 VAAK

8. Hoe goed ‘snappen’ we wachten (5)? Uitgewerkt in simulatiepakket Simio

9. Hoe goed ‘snappen’ we wachten (6)? Gebaseerdop een runvan 10 dagen Max 1.2 uurwachttijd! Simio uitvoer: "Results tab"

10. Wachten in één rij of meer rijen (1) • Soms is er één wachtrij bij meer ‘loketten’, b.v. veiligheidsscan op sommige luchthavens • Soms heeft elk ‘loket’ een eigen wachtrij, b.v. kassa’s bij de supermarkt • Maakt dat verschil? • Wat is ‘eerlijker’? • Verschilt de gemiddelde wachttijd? • Waarom?

11. Wachten in één rij of meer rijen (2) • Soms is er één wachtrij bij meer ‘loketten’, b.v. veiligheidsscan op sommige luchthavens • Soms heeft elk ‘loket’ een eigen wachtrij, b.v. kassa’s bij de supermarkt • Maakt dat verschil? JA • Wat is ‘eerlijker’? 1 rij • Verschilt de gemiddelde wachttijd? JA • Waarom? Lege rij

12. Wachten in één rij of meer rijen (3) Uitgewerkt in simulatiepakket Simio

13. Telefonische diensten (1) • Als je een telefonische dienst belt, moet je vaak keuzes maken met nummers voordat je iemand aan de lijn krijgt. • Waarom is dat? • Maakt het verschil in de wachtrijen? • Waarom?

14. Telefonische diensten (2) • Als je een telefonische dienst belt, moet je vaak keuzes maken met nummers voordat je iemand aan de lijn krijgt. • Waarom is dat?Specialisatie van taken • Maakt het verschil in de wachtrijen?Ja • Waarom?Meer “gelijke” taken per medewerker

15. Telefonische diensten (3) Uitgewerkt in simulatiepakket Simio

16. Simulatie voor wachtrijproblemen De simulatie De praktijk VSE, Virginia Tech / ORCA Computing

17. Simulaties: wachten op luchthavens

18. Model: ARC, Aken, Duitsland Simulatie: wachten bij klaar-maken vliegtuig

19. Simulatie: Wachten bij instappen Model: ARC, Aken, Duitsland

20. Simulatie: wachten bij taxiën Model: ARC, Aken, Duitsland

21. Wachtrijsysteem Doelgroep van potentiële klanten wachtrij server(s) klanten wachtrijsysteem

22. Toestanden van het wachtrijsysteem wachtrij server(s) klanten Wachtrijsysteem Onbezet / Bezet Leeg / Niet-leeg Welke toestand is onmogelijk?

23. Parameters van een wachtrijsysteem Prestatie van het wachtrijsysteem is afhankelijk van: • Aankomstproces (l en verdeling tussentijd) • Bedieningsproces (m en verdeling bedieningstijd) • Aantal loketten • Capaciteit van het systeem • Omvang van de doelgroep Capaciteit van wachtrij+Aantal servers ∞ of niet

24. Voorbeeld bezettingsgraad Bij de helpdesk van de faculteit: • Gemiddeld arriveren er 4 klanten per uur met een hulpvraag (Poisson) • Gemiddeld kunnen 6 klanten per uur worden geholpen (Poisson) • Wat is de bezettingsgraad (Griekse letter rho) voor • 1 helpdesk medewerker? • 2 helpdesk medewerkers?

25. Aankomstproces • Aankomsttussentijden stochastisch of deterministisch? • Eén voor één op groepsgewijs? • Groepsgrootte stochastisch of deterministisch • Meestal: • Aantal klanten per tijdseenheid Poisson verdeeld • Tussenaankomsttijden exponentieel verdeeld • Eén voor één • Aankomstintensiteit (aantal/tijdseenheid): λ zelfde!

26. Bedieningsproces • Bedieningstijden stochastisch of deterministisch? • Bijv. normaal verdeeld of exponentieel verdeeld? • Volgorde van bediening • Eerste eerst? • Laatste eerst? • Snelste eerst? • Urgentste eerst? • Bedieningsintensiteit (aantal/tijdseenheid): µ

27. Aantal parallelle servers • Ieder wachtrijsysteem heeft slechts één wachtrij • Anders meerdere wachtrijsystemen • Meerdere servers zijn wel mogelijk • 1<#servers<, aantal servers: letter c

28. Capaciteit van het systeem • Totale aantal klanten in de wachtrij en bij de loketten • Bij eindige capaciteit • Klanten gaan terug naar doelgroep als wachtrij vol • Effectieve aankomsten  Werkelijke aankomsten • Bijvoorbeeld • Bellen van klantenservice (in gesprek bij volle rij) • Numerus fixus voor studie geneeskunde • Opslag in fietsenwinkel

29. Omvang van de doelgroep • Eindig of oneindig groot? • Oneindig als groep potentiële klanten is groot • Klanten in systeem verwaarloosbaar t.o.v. doelgroep • Restaurant, OV-reisinformatie, Postkantoor, etc. • Eindige doelgroep • Aantal aankomsten hangt af van aantal klanten in systeem • Computers te repareren door de helpdesk, #patiënten op een ziekenhuisafdeling, etc.

30. Notatie van Kendall A/B/c/N/K waarin: A Verdeling aankomsttussentijd B Verdeling bedieningstijd c Aantal servers N Capaciteit van het systeem K Omvang van de doelgroep Afkortingen verdelingen: M Exponentieel D Constant of deterministisch Ek Erlang G Random of algemeen

31. Nu een beetje dieper

32. Wet van LittleBehoudsvergelijking Gemiddelde tijd in systeem Gemiddeld aantal klanten Aankomstintensiteit

33. Gemiddelde wachttijd: Wqprestatiecriteria Gemiddelde tijd in wachtrij Gemiddelde bedieningstijd Gemiddelde tijd in systeem

34. Gemiddelde # klanten in wachtrij: Lqprestatiecriteria Bezettingsgraad server Totaal # klanten in systeem Little’s vergelijking voor de wachtrij

35. Gemiddeld # klanten in systeemPrestatiecriteria M/M/1

36. Oefening 1: Kantine met 1 kassa • Gemiddeld komt er één klant aan per minuut (Poisson verdeeld) • Gemiddelde bedieningstijd is 40 seconde per klant (exponentieel verdeeld) • Bepaal … • Kendall notatie • Gemiddelde tijd in systeem? • Gemiddelde wachttijd? • Gemiddeld aantal klanten in de rij? • Kans dat er precies 5 klanten in systeem zijn?

37. Bedieningsproces Wie is er het eerst aan de beurt? • Bedieningsvolgorde: • FIFO First In, First Out • LIFO Last In, First Out • SIRO Service In Random Order • SPT Shortest Processing Time first • PR Service according to Priority • Bedieningstijden stochastisch of deterministisch? • Bijv. normaal verdeeld of exponentiëel verdeeld? • m is de bedieningsintensiteit (bijv. 12 klanten/uur) • 1/m is de gemiddelde bedieningstijd (5 minuten)

38. Bedieningsvolgorde versus Prestatie wachtrijsysteem • Bedieningsvolgorde heeft geen invloed op • Bezettinggraad • Totale tijd in het systeem • Gemiddelde wachttijd • Totaal aantal klanten in het systeem • Gemiddelde lengte wachtrij • Bedieningsvolgorde heeft alleen invloed op • Variantie van de wachttijd

39. Oefening 2 • Wat is de klantenvolgorde als als bedieningsvolgorde “Shortest processing time first” wordt gebruikt? • Welke andere bedieningsvolgorde zou hetzelfde resultaat geven? • Wat is de gemiddelde wachttijd? (Wq) • Wat is het gemiddeld aantal klanten in de wachtrij? (Lq)

40. Voorbeeldl = 4 (Poisson)m = 6 (Poisson)c = 1 N = 50 Klanten SPT L = 2.6 Lq = 1.7 LIFO L = 3.2 Lq = 2.9 --Systeem --Wachtrij --Server

41. Voorbeeldl = 4 (Poisson)m = 6 (Poisson)c = 1 N = 50 klanten SPT w = 31 wq = 20 LIFO --Tijd in systeem --Tijd in wachtrij --Bedieningstijd w = 38 wq = 27

42. Systeem met meer servers...  bezettingsgraad systeem P0 kans op 0 klanten in systeem Pn kans op n klanten in systeem L gem. aantal klanten in systeem w gemiddelde tijd dat klant in systeem is wQ gemiddelde tijd in wachtrij LQ gemiddelde lengte wachtrij L-LQ gem. aantal bezette balies

43. Systeem met 4 servers: c=4

44. 4 balies, =40/uur, =12/uur M/M/4 Berekende waarden  bezettingsgraad 0.83 P0 kans op 0 klanten in systeem 3 % L gem. aantal klanten in systeem 5.5 w gemiddelde tijd dat klant in systeem is 8.25 min wQ gemiddelde tijd in wachtrij 5.5/40 -1/12 = 0.054 uur = 3.25 min LQ gemiddelde lengte wachtrij 2.16 L-LQ gem. aantal bezette balies 3.33

45. Het systeem met 4 balies in Simio

46. Simulatie • Met b.v. wachttijdtheorie kunnen bepaalde problemen analytisch worden opgelost maar wat als: • het systeem zo complex is dat het ondoenlijk is de beste oplossing analytisch te berekenen • er veel oplossingen berekend moeten worden en het berekenen veel tijd kost • snel een oplossing nodig is en er geen tijd is voor berekeningen • inzicht verschaft moet worden aan een opdrachtgever over de analyse en de oplossingen • Werkelijkheid TB-problemen is meestal zo complex dat alleen simulatie gebruikt kan worden

47. Handsimulatie • Kunnen we een dergelijk proces in een wachtrijsysteem ook met de hand uitvoeren? • Laten we een voorbeeld uitproberen met de groep...

48. Voorbeeld Simulatie met de hand Proces in b.v. postkantoor Klanten komen uniform verdeeld aan: • tussentijd discreet tussen 1 en 6 minuten Klanten hebben een bedieningstijd: • 1 op de 6 klanten 1 minuut, • 1 op de 2 klanten 2 minuten, • 1 op de 3 klanten 5 minuten

49. Bouw van een simulatiemodel • Veel soorten simulatietalen • In 2e jaar: Simio uitgebreid behandeld • Andere simulatietalen worden getoond • Voorbeeld: hoe wordt een model van de M/M/c wachtrij met 40 aankomsten per uur, 4 loketten en 5 minuten per bediening gesimuleerd?

50. Voorbeeld handsimulatie in Simio