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Vorlesung Finanzmathematik und Risikomanagement

Vorlesung Finanzmathematik und Risikomanagement. Jörg Lemm WS 2008/9. Themen der Vorlesung. Finanzmathematische Themen Marktrisiko: Marktrisikomessung, Portfoliooptimierung, Derivate Kreditrisiko: Kreditrisikomessung, Kreditportfoliooptimierung, Kreditderivate

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Vorlesung Finanzmathematik und Risikomanagement

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Presentation Transcript

  1. VorlesungFinanzmathematikund Risikomanagement Jörg Lemm WS 2008/9

  2. Themen der Vorlesung • Finanzmathematische ThemenMarktrisiko: Marktrisikomessung, Portfoliooptimierung, DerivateKreditrisiko: Kreditrisikomessung, Kreditportfoliooptimierung, Kreditderivate • Statistische MethodenStatistik / Statistische MechanikAktienkurse / DiffusionParametrisierung von Modellen / inverse Probleme

  3. Basel, die Banken und die Physiker Basler Ausschuss der G10 Länder zur Bankenaufsicht erarbeitet Richtlinien zur Eigenkapitalunterlegung von Bankrisiken 1988 Basel I, Vorschriften zur (pauschalen) Eigenkapitalunterlegung von Kreditrisiken 1996 Erweiterung auf Marktrisiko (Physiker als Entwickler interner Marktrisikomodelle) 1999 Basel II, erstes Konsultationspapier zum Kreditrisiko (Physiker als Entwickler von Methoden der Kreditrisikomessung – und -steuerung) 2007 Finanzmarktkrise 2008 Inkrafttreten Solvabilitätsverordnung (Basel II)

  4. Stichworte zur Finanzmarktkrise • Volkswirtschaftliche Gründe: Niedrigzinspolitik (Wirtschaftswachstum, Leistungsbilanz, Vermögensinflation: Aktien, Immobilien, Kreditkartenforderungen) • Finanzmathematische Innovationen: Kreditderivate und Verbriefungen (teils schwer verstehbar, falsche Anreizstrukturen) • Aufsicht (unzureichende Kontrolle der Banken und Ratingagenturen)

  5. Risikomanagement 1. Bestimmen/Messen/Modellieren von Gewinn/Verlust-Verteilungen ? 2. Reduzieren von Risiko / Gestalten von Risikoprofilen ?

  6. Marktrisiko • Einzelkurse: Probabilistische Modelle • Portfolio: Risikominimierung • Hedging: Geht es ohne Risiko?

  7. DAX

  8. Royal Dutch Petroleum Company

  9. Unabhängige, normalverteilte Zuwächse mit Varianz mit (bei kleinen Zeiten) Mittelwert 0 also Brown´sche Bewegung (Bachelier 1900, Einstein 1905) Markteffizienz (Fama 1970, U. of Chicago) BeispielBrown‘scheBewegung

  10. Autokorrelation S&P 500 Normierte Auto- korrelation Minuten Aus Bouchaud, Potters, Theory of Financial Risks

  11. mit also Geometrische Brown´sche Bewegung ist eine Brown´sche Bewegung bezogen auf logarithmische Preise, mit normalverteilten Renditen (relative Preisänderungen) Beispiel geometrische Brown‘sche Bewegung

  12. ARCH(p) : ARCH-Prozesse A(uto)R(egressive) C(onditional) H(eteroscedasticity) Wie eine (geometrische) Brown´sche Bewegung, aber mit einer veränderlichen Varianz, abhängig von (einem `moving average´ der) vergangenen quadrierten Änderungen. BeispielARCH-Prozess

  13. Kursvorhersage: Probleme • Schwankungen sind besser vorhersagbar als Renditen • Langfristige systematische Vorhersagemöglichkeiten erlauben Arbitrage (risikolose Gewinne) und sind daher in größerem Umfang nicht zu erwarten • Es gibt keine notwendige kurzfristige Kopplung an den Fundamentalwert. Positive Rückkopplungen führen zu Spekulationsblasen (Bsp.: Stop loss orders, Behavioral Finance, Kahnemann & Tversky) • Nutzen von Expertenwissen ( Bayes‘sche Methoden) empirisch schwer überprüfbar

  14. Bsp.: LTCM (Long-Term Capital Management; Merton, Scholes) 1998

  15. Marktrisiko • Einzelkurse: Probabilistische Modelle • Portfolio: Risikominimierung • Hedging: Geht es ohne Risiko?

  16. GrundlagenPortfolio-Optimierung Eine Münze 2 Münzen 2 Münzen 2 Münzen

  17. (relativer) Anteil von Aktie 3 (relativer) Anteil von Aktie 1 (relativer) Anteil von Aktie 2 ProblemstellungPortfolio-Optimierung Portfoliozusammensetzung: ... Problemstellung: Finde für vorgegebene Gewinnerwartung die Portfolio- zusammensetzung mit minimalem Risiko (Varianz) (Physiker als Fonds- bzw. Portfoliomanager)

  18. Ein Portfolio aus Aktien mit erwartetem Gewinn Varianz-Kovarianzmatrix , und (relativen) Anteil hat die Portfoliovarianz unter den Nebenbedingungen und Markowitz 1952, Nobelpreis 1990 Portfolio-Optimierung Bei fixiertem Gesamterwartungswert (und fixierten auf 1 normierten Einstandspreis) soll die Unsicherheit (hier: Varianz) minimiert werden Korrelierte Wertpapiere Portfolio-Optimierung

  19. Portfolio-Optimierung: Probleme • Die Zahl der Einträge in einer Korrelationsmatrix wächst quadratisch mit der Zahl der Komponenten • historische Daten zeigen starkes Rauschen (Filtern mit Random Matrix Methoden) • historische Werte sind nur von bedingtem Nutzen A-Priori Informationen müssen mit einfließen (Bayes‘sche Methoden) • Andere Risikomaße (z.B. VaR) und Nicht-Gauß‘sche Verteilungen (Monte Carlo) • Viele verschiedene Nebenbedingungen möglich (teilweise Zusammenhang mit Spingläsern, dann viele Minima) • Optimale Portfolios sind nicht sehr stabil • Transaktionskosten und fehlende Liquidität

  20. Marktrisiko • Einzelkurse: Probabilistische Modelle • Portfolio: Risikominimierung • Hedging: Geht es ohne Risiko?

  21. Optionspreisformeln, Black, Scholes, Merton 1973, Merton u. Scholes Nobelpreis 1997 „No-Arbitrage“-Prinzip Perfekt negativ korrelierte Finanzprodukte erlauben die Konstruktion risikoloser Portfolios Beispiel: Komplexe Finanzinstrumente (wie z.B. Optionen) können manchmal durch eine Mischung von (der der Option zugrundeliegenden) Aktien und einer risikolosen Geldanlage nachgebildet werden: Option = a*Aktie + b*Geldkonto (Physiker als Finanzingenieure) Binomialmodell Aktie Binomialmodell1stufig BinomialmodellDerivate Binomialmodell2stufig

  22. No-Arbitrage Prinzip: Probleme • Kontinuierliches Handeln ohne Transaktionskosten • Restriktive Verteilungsannahmen (log-normale Kurse mit bekannter Zinsrate und Volatilität) • Leerverkäufe erlaubt, Aktien beliebig teilbar • Erweiterungen (z.B. Monte Carlo) sind oft aufwendig und führen nicht immer zu kompletter Risikofreiheit

  23. Kreditrisiko • Einzelkredit: Erwarteter Verlust • Portfolio: Unerwarteter Verlust • Pricing: Was kostet Risiko?

  24. Deterministischer Zahlungsstrom Refinanzierung und Barwert

  25. Probabilistischer Zahlungsbaum

  26. Zu bestimmende Parameter

  27. Inanspruchnahme bei Ausfall

  28. Ausfallwahrscheinlichkeiten durch logistische Regression Die Ausfallwahrscheinlichkeit für gegebenen Scorewert x lässt sich analog schreiben als Für die „Energiedifferenz“ lassen sich nun verschiedene Ansätze wählen. Ein einfacher linearer Ansatz führt zur logistischen Regression LogistischeRegression RBF

  29. Maximum Likelihood Methode Es werden diejenigen Modellparameter a und b ausgewählt unter denen die Wahrscheinlichkeit der gegebenen Daten p(Daten|Modell) ( = „Likelihood“) maximal wird. Für gegebenen Scorewert x ist die Likelihood für die Ausfallvariable y Für nichtparametrische Verfahren (mit vielen Freiheitsgraden) muss die Maximum Likelihood Methode durch Cross-Validierungstechniken oder Hinzunahme von A-Priori-Informationen (Bayes‘sche Statistik) ergänzt werden. LogistischeRegression RBF

  30. Kreditrisiko • Einzelkredit: Erwarteter Verlust • Portfolio: Unerwarteter Verlust • Pricing: Was kostet Risiko?

  31. Zweistufiges Konjunkturmodell

  32. Zweistufiges Konjunkturmodell:Ein Kredit

  33. kein Ausfall kein Ausfall ein Ausfall ein Ausfall Doppel- ausfall Doppel- ausfall Zweistufiges Konjunkturmodell:2 Kredite 81% P Unabhängige Kredite 18% 1% Größere Häufigkeit eines Doppelausfalls bei abhängigen Krediten 81,25% P Abhängige Kredite 17,5% 1,25%

  34. Zweistufiges Konjunkturmodell:10 Kredite P Unabhängige Kredite 5,7% Größere Breite der Verteilung bei abhängigen Krediten P Abhängige Kredite 7,0%

  35. P Unabhängige Kredite V P Abhängige Kredite V Zweistufiges Konjunkturmodell: 100 Kredite Verteilung nähert sich (in ihrem Zentrum) einer Normalverteilung Die beiden Konjunkturstufen werden sichtbar

  36. Zweistufiges Konjunkturmodell: 1000 Kredite Unabhängige Kredite Spezifisches Risiko verschwindet asymptotisch (Wurzel-n-Gesetz) P V Systematisches Risiko (z.B. Konjunkturrisiko) bleibt, auch asymptotisch nicht diversifizierbar P Abhängige Kredite V

  37. Mehrstufiges Konjunkturmodell Approximation durch Gamma- verteilung P Prinzip CreditMetrics

  38. Restrisiko In der Praxis verschwindet das Risiko auch für sehr große Banken nicht, da • Zahl der Kredite noch nicht groß genug • Kreditvolumina sehr unterschiedlich groß(dominierende Einzelkredite, „Klumpenrisiken“ ) • Einzelkredite korreliert (systematisches Risiko) AufsichtlicheUnterlegungspflicht mit Eigenkapital

  39. Kreditrisiko • Einzelkredit: Erwarteter Verlust • Portfolio: Unerwarteter Verlust • Pricing: Was kostet Risiko?

  40. Value at Risk erwarteter Verlust Value at Risk (`Wert am Risiko´) hier auf 99%-Niveau (=Solvenzniveau)

  41. Eigenkapitalkosten: Änderung des VaR durch neuen Kredit Verlustverteilung ohne neuen Kredit Verlustverteilung mit neuem Kredit Verzinsung des benötigten Eigenkapitals = Eigenkapitalkosten

  42. Pricing Barwert(Vertragsfall) - erwarteter Verlust - Eigenkapitalkosten (Risikoprämie) = Nettoerfolg PricingToy

  43. Vielen Dank !

  44. GARCH(1,1) : GARCH-Prozesse G(eneralized) A(uto)R(egressive) C(onditional) H(eteroscedasticity) Wie eine (geometrische) Brown´sche Bewegung, aber mit einer veränderlichen Varianz, abhängig von (einem `moving average´ der) vergangenen quadrierten Änderungen sowie der vergangenen Varianz selbst (`autoregressive Komponente´) Beispiel GARCH-Prozess

  45. Wahrscheinlichkeit und Energie Jede Wahrscheinlichkeit(sdichte) läßt sich schreiben als mit „Energie“ und „Zustandssumme“ Vorteile: 1. Normierung und Nichtnegativität automatisch gewährleistet 2. Normierung braucht nicht in jedem Fall berechnet zu werden 3. Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten entspricht Addition von Energien(Integrale)

  46. Keine Leerverkäufe : Mit Marginkonto : ( Spingläser) Mit Diversifikationsvorgabe : Andere mögliche Nebenbedingungen

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