MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii
WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa stronajest gradientem funkcji , czyli (2)
POTENCJAŁ POLA SIŁ Funkcjęnazywamy potencjałem pola sił. Potencjał spełnia następujące zależności: (3) lub w postaci wektorowej
SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Cechy siły potencjalnego pola sił : a) Moduł siły jest równy b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, c) Siła ma zwrot od powierzchni wyższego potencjałudopowierzchni niższego potencjału.
WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względemy, drugiego względemx, otrzymamy: (4) Z (4) wynika, że: (5) Podobnie, różniczkując względem „przemiennych" kierunków układ równań (3), dochodzimy do następujących zależności: (6)
WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było polem potencjalnym. W postaci wektorowej: (7) Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja wektora siły pola musi być równa zeru.
PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Praca elementarna (8) W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym. Praca całkowita stąd (9) (10) W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.
CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ a) potencjał jest skalarną funkcją położenia b) potencjał istnieje w polu, dla którego c) w polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem ujemnym d) praca całkowita w polu potencjalnym nie zależy od kształtu toru i równa się różnicy potencjałów e) praca w polu potencjalnym po dowolnej krzywej leżącejnapowierzchni ekwipotencjalnej jest równa zeru.
CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił tworzą układ ortogonalny, i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjałudo powierzchni niższego potencjału. j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej linii zamkniętejjest równa zeru
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi Rys. 4 Praca elementarna Potencjał pola sił ciężkości ma postać: (11) Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 (rys. 4) będzie równa
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi: (12) Pracę nazywamy energią potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Z zasady pracy i energii kinetycznej oraz pracy i energii potencjalnej wynika że: czyli (13) Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej. Całkując to równanie otrzymujemy (14) W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą. W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru (15)
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Przykład 1 A h B Z zasady zachowania energii mechanicznej EA = EB, (E = Ep+ Ek)
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Rys. 5 Przykład 2 Po gładkim torze porusza się punkt materialny o masiem. Z zasady zachowania energii (15) wynika równość: (16) a stąd (17)
ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Największa wysokośćzmax, którą osiągnie punkt materialny,otrzymamy v = 0, podstawiając do równania (17) (18) • Wynika stąd, że: • na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy założeniu toru gładkiego), • maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi zmax (18), • punkt materialny przejdzie przez wszystkie „garby„ toru, nie większe od wysokości zmax.
RÓWNOWAGA Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze (19) Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej. Rozróżniamy: równowagę stałą, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony zpołożenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi, równowagę chwiejną, która zachodzi w ,położeniu, w którym nawet dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe od tego położenia równowagi, równowagę obojętną, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.
RÓWNOWAGA W polu sił ciężkości równowaga punktu materialnego zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum (rys.6). W szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu, w którym energia potencjalna osiąga minimum. Jest to tzw. kryterium stateczności Mindinga i Dirichleta. Rys. 6
POSTACIE ENERGII ENERGIA – zdolność układu do wykonania pracy • potencjalna położenia, sprężystości • potencjalna ciśnienia (płynu) • kinetyczna • elektryczna • chemiczna • cieplna • jądrowa • termojądrowa • elektrostatyczna, magnetyczna, elektromagnetyczna
