Matemática Aplicada UNIDADE I

1. RESUMO DE APOSTILA Matemática Aplicada UNIDADE I

2. Educação a Distância – EaD Professor: Flávio Brustoloni Matemática Aplicada

3. Matemática Aplicada Cronograma: Turma ADG 0096

4. Objetivos da Disciplina: • Situar a Matemática Aplicada dentro do vasto campo da Matemática e relacioná-la com a área da Administração, servindo de aporte e ferramental para outras disciplinas específicas do curso; • Formatar e calcular funções de duas ou mais variáveis, variáveis aleatórias e discretas e programação linear, sistemas e vetores compreendendo sua importância no desempenho de suas atividades no cotidiano; • Aplicar as funções de duas ou mais variáveis, assim como a teoria dos jogos e a modelagem matemática na resolução de problemas que envolvam o cotidiano do(a) acadêmico(a); • Perceber a importância da Matemática Aplicada como uma disciplina que pode ser suporte nas mais diferentes áreas da Administração e que nos ajuda a resolver problemas contextuais;

5. Unidade 1FUNÇÕES DE DUAS OU MAIS VARIÁVEIS

6. Objetivos da Unidade: • Compreender a definição de função de duas ou mais variáveis; • Conhecer os tipos de funções, suas operações e suas aplicações; • Resolver problemas do cotidiano envolvendo funções de duas ou mais variáveis; • Aplicar o conceito de funções de duas ou mais variáveis em problemas do cotidiano;

7. Conceito de Função de várias Variáveis e suas aplicações Tópico 1 1/44

8. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 Uma função f(x) = y de duas variáveis é uma regra que associa um número a cada variável. A sua forma é f(x) = ax + b, onde a é a parte variável e b a parte fixa. No cotidiano das organizações utilizamos muito os termos custo, receita e lucro. 5 2/44

9. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 a) Função Custo: Seja x a quantidade produzida de um produto. O custo de produção depende de x, e a relação entre eles chamamos função custo. Existem custos que não dependem da quantidade produzida (aluguel, seguros, etc). Estes são denominados custos fixos (Cf). 5 3/44

10. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 O custo que depende de x chamamos de custo variável (Cy), mão de obra, material etc. O custo total em qualquer nível de produção é a soma do custo fixo e do custo variável neste nível de produção: C1 = Cf + Cv 5 4/44

11. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 b) Função Receita: Seja x a quantidade vendida de um produto. É a quantidade que o fabricante recebe pela venda de x unidades. Seu gráfico é crescente a taxas constantes e seu gráfico é uma reta que passa pela origem. p = preço e x = quantidade R = px 5 5/44

12. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 c) Função Lucro: A função Lucro (L) descreve o lucro para qualquer quantidade x, isto é, deve ser a diferença entre a receita e o custo para qualquer quantidade x. L = R - C 5 6/44

13. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 d) Ponto de Nivelamento (break-even point): É o ponto de intersecção entre o gráfico da receita total e o custo total. Ele indica a quantidade produzida tal que o lucro total é zero. É a partir dessa quantidade mínima que o produtor começará a ter lucro positivo. 6 R = C L = 0 7/44

14. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 e) Função Demanda: É a quantidade do bem que os consumidores pretendem adquirir num certo intervalo de tempo (dia, mês, ano). A função Demanda descreve o comportamento do consumidor que compra mais quando o preço cai e compra menos quando o preço sobe (Lei da Demanda). 6 8/44

15. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 f) Função Oferta: Chamamos de oferta de um bem, num certo intervalo de tempo, à quantidade do bem que os vendedores desejam oferecer no mercado. 6 9/44

16. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 g) Ponto de Equilíbrio: O Ponto de Equilíbrio é o ponto de intersecção do gráfico da oferta com o da demanda. Suas coordenadas são o preço de equilíbrio e a quantidade de equilíbrio. 6 10/44

17. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 Exemplo: Duas editoras oferecem emprego com as seguintes condições salariais: Empresa A – Fixo de R$ 800,00 e comissão de R$ 15,00 por coleção vendida; Empresa B – Fixo de R$ 600,00 e comissão de R$ 20,00 por coleção vendida. 7 11/44

18. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 Faça uma análise e avalie qual a melhor proposta salarial. Para avaliarmos a melhor proposta, temos que descobrir o ponto de equilíbrio, ou seja, o ponto em que as duas propostas são iguais. 7 12/44

19. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 Empresa ACA = 800 + 15x Empresa BCA = 600 + 20x 7 13/44

20. Tópico 1 2 Conceito2.1 Uma Função F(X) = Y de duas variáveis Unid. 1 CA = CB800 + 15x = 600 + 20x800 – 600 = 20x – 15x200 = 5xx = 200/5 = 40 coleções Até 40 coleções, a melhor proposta é a A; a partir de 40 coleções, a melhor proposta passa a ser a B. 7 14/44

21. Tópico 1 2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis Unid. 1 Uma função f (x,y) de duas ou mais variáveis x e y é uma regra que associa um número a cada par de valores das variáveis.Ex.: a) Sendo f (x,y) = 2x + 3y 9 15/44

22. Tópico 1 2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis Unid. 1 A cada par de valores (x,y) teremos um valor para a função, por exemplo para (3,5) teremos:f (3,5) 2.3 + 3.5 = 6 + 15 = 21 9 16/44

23. Tópico 1 2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis Unid. 1 b) Uma mercearia vende um pote de manteiga a R$ 3,50 e um pote de margarina a R$ 2,50. 9 17/44

24. Tópico 1 2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis Unid. 1 O faturamento com a venda de x potes de manteiga e y potes de margarina, sendo x e y da mesma referência, é dado por: f (x,y) = 3,50x + 2,50y, onde x é o número de potes de manteiga vendidos e y o número de potes de margarina vendidos, temos para x = 20 e y = 30 um faturamento de: 9 18/44

25. Tópico 1 2 Conceito2.2 Uma Função F(X,Y) de duas ou mais variáveis Unid. 1 f (20,30) = 3,50.20 + 2,50.3070 + 75 = R$ 145,00 9 19/44

26. Máximos e Mínimos de Funções de Várias Variáveis Tópico 2 20/44

27. Tópico 2 1 Introdução Unid. 1 Uma importante utilização dos máximos e mínimos de uma função é a sua otimização. Otimizar uma função significa encontrar seu ponto de máximo ou de mínimo. O estudo do melhor ponto de uma determinada função nos permite obter mais instrumentos na tomada de decisão, da formação de um preço, por exemplo. 19 21/44

28. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 Vejamos o conceito: se f (x,y) tem um máximo ou mínimo relativo no ponto (x,y) = (a,b), então:df/dx (a.b) = 0 e df/dy (a.b) = 0 20 22/44

29. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado valores positivos que serão pontos de mínimo. 20 23/44

30. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 Exemplo: a função f (x,y) = 3x2 – 4xy + 3y2 + 8x – 17y + 30 tem como coeficiente de x e y ao quadrado valores positivos que serão pontos de mínimo. 20 24/44

31. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 Devemos encontrar valores de x e y para os quais ambas as derivadas parciais são zero.As derivadas parciais primeiras são calculadas diminuindo-se um grau do expoente de x e y e passando o mesmo a ser coeficiente. 21 25/44

32. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 f (x,y) = 3x2 – 4xy + 3y2 + 8x – 17y + 30 df/dx = 3.2x – 4.1y + 8.1 = 6x – 4y + 8df/dy = -4.1x + 3.2y – 17.1 = -4x + 6y - 17 21 26/44

33. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 Determinando df/dx = 0 e df/dy = 0:6x – 4y + 8 = 0 (isolando o y) y = (6x + 8)/4 -4x + 6y – 17 = 0 (isolando o y) y = (4x + 17)/6 21 27/44

34. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 (6x + 8)/4 = (4x + 17)/6 20x = 20x = 1 21 28/44

35. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 y = (6x + 8)/4y = (6.1 + 8)/4y = 7/2Se f(x,y) tem um mínimo, ele deve ocorrer quando df/dx (a,b) = 0 e df/dy (a,b) = 0. 21 29/44

36. Tópico 2 2 Cálculo de Máximos e Mínimos através do teste da derivada da primeira para funções de duas variáveis Unid. 1 Determinamos que as derivadas parciais são simultaneamente iguais a zero quando x = 1 e y = 7/2. Portanto f(x,y) tem um mínimo que deve ocorrer no ponto (1, 7/2). 21 30/44

37. O Método dos Mínimos Quadrados Tópico 3 31/44

38. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 A equação de uma reta é dada pela expressão: y = ax + b que é uma relação linear ajustada aos pontos não colineares do problema em questão. 27 32/44

39. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Portanto o método dos mínimos coloca os pontos não alinhados em uma reta através do método dos mínimos quadrados que, por dedução, define a e b como sendo os coeficientes angular e linear. 27 33/44

40. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Esses coeficientes a e b são dados pelas expressões:a = Ʃ xi.yi – [(Ʃxi).(Ʃyi)]: n/ [Ʃxi2 – ((Ʃxi)2 :n)]b = Ʃyi : n – [a.((Ʃxi):n)] 27 34/44

41. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Exemplo: Um comerciante deseja obter empiricamente uma equação de demanda para seu produto. Ele admite que a quantidade média demandada (y) relaciona-se com seu preço unitário (x) por meio de uma função de 1º grau. 27 35/44

42. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Para estimar esta reta, fixou os preços em vários níveis e observou a quantidade demandada, obtendo os dados a seguir: 27 36/44

43. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 27 37/44

44. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Com base nos dados, calcule:a) a equação da reta dos mínimos quadrados;b) a quantidade demandada para um preço unitário de R$ 5,00; 27 38/44

45. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Vamos resolver utilizando as expressões acima dos coeficientes angular e linear:a) Inicialmente, vamos criar uma planilha para cálculos dos valores a serem utilizados na fórmula: 28 39/44

46. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 28 40/44

47. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Usando a fórmula da reta dos mínimos quadrados, teremos:a = Ʃ xi.yi – [(Ʃxi).(Ʃyi)]: n/ [Ʃxi2 – ((Ʃxi)2 :n)]a = 57 – [(10.27):4] = 57 – (270:4) 30 – [(10)2 :4]30 – (100:4) 28 41/44

48. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 a = 57 – (270:4) = 57 – 67,5 = -10,5 = -2,1 30 – (100:4) 30-25 5 a = -2,1 b = 12 b = Ʃyi : n – [a.((Ʃxi):n)]b = 27:4 – [-2,1.((10):4)] = 6,75 – (-5,25) = 12 28 42/44

49. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 Portanto a equação da reta ajustada é:y = ax + by = -2,1x + 12 28 43/44

50. Tópico 3 2 Ajuste de Retas pelo Método dos Mínimos Quadrados Unid. 1 b) Para encontrar a quantidade para um preço de R$ 5,00, teremos:y = -2,1x + 12x = 5 y = -2,1.5 + 12 = -10,5 + 12 = 1,50 28 44/44