Funciones Inversas

1. Funciones Inversas

2. Relación inversa El par ordenado (a; b) está en la relación si y sólo sí, el par ordenado (b; a) está en la relación inversa. Nota: sólo nos interesan las que pasan a ser funciones

3. y = f(x) y x Función inversa Criterio de la recta horizontal Una función f es inyectiva (uno a uno) si y sólo sí toda recta horizontal interseca a su gráfica a lo más en un punto. ¿Es f inyectiva? f(a) f(b) = a b

4. Aplicación del criterio de la recta horizontal ¿Cuál de las gráficas siguientes son gráficas de funciones que son uno a uno?

5. Función inversa Si f es una función uno a uno con Dom(f ) = D Ran(f ) = R entonces la función inversa de f, denotada por f -1, es la función con Dom(f -1) = R Ran(f -1) = D definida mediante f -1(b) = a si y sólo si f(a) = b

6. El principio de la reflexión inversa • Los puntos (a; b) y (b; a) en el plano coordenado son simétricos con respecto a la recta y = x. 2. Los puntos (a; b) y (b; a) son reflexiones uno del otro con respecto a la recta y = x.

7. y=x f(x) f-1(x) Regla La función inversa f -1 es simétrica con f, respecto a la recta y = x

8. Regla de composición de la inversa Una función f es uno a uno con función inversa g si y sólo si • f (g(x)) = x para toda x en el dominio de g. • g (f(x)) = x para toda x en el dominio de f.

9. Función inversa Dada y = f (x), se quiere determinar la regla de correspondencia para f -1: • Verifique que f es uno a uno. Indique, si hay, las restricciones sobre el dominio de f (observe que podría ser necesario imponer alguna para obtener una versión uno a uno de f) • Intercambie x y y en la regla y = f (x). • Despeje y para obtener la regla de correspondencia y = f -1(x). • Indique cualquier restricción sobre el dominio de f -1.

10. Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.