第二章 波函数与 Schördinger 方程

1. 第二章 波函数与Schördinger方程 §2.1 波函数的统计解释 1、对波粒二象性的理解 对于能量为E动量为P的状态，说限于某点的波没有意义，不能按经典的概念去理解微观粒子的波粒二象性。 那么，如何理解波粒二象性呢？ 粒子----定域性 波动----广延性

2. 历史上曾经把粒子用波包来等价，比如自 由粒子的平面波包（由一定范围动量，即不 同的 构成，因为 ）。以波包中心表 示粒子的位置，波包的大小表示粒子的大小。 群速度表示粒子的速度。则 ①不能认为一个粒子就是经典概念下的波

3. 即不同的k运动速度不同，导致波包扩散，粒 子变胖。 但实验上观测到的电子总处于空间一个小区域 中，其广延不超过原子大小~1Å 另外也不能把电子看成三维空间的物质波包。 衍射实验说明单粒子打到靶上就是一点。

4. 但它不是经典粒子：不能用( )确定粒子 状态，没有轨道概念； ②不能认为波是由一群粒子组成。否则必 然导致波动是由粒子间的相互作用产生的 电子衍射实验中，电子流非常弱，一个一个电子打到靶上也产生干涉图样。说明波动性也是单个粒子所具有的。 结论：微观粒子既是粒子又是波。 也不是经典波：抛弃了物理量在空间周期性 分布的概念，但具有波动的相干叠加性。 两者统一于 Bohn的几率波概念中。

5. 2、几率波 多粒子系的波函数 (1)几率波 分析电子的双缝衍射实验发现，衍射图样与发射电子流强度无关。且多个电子一次行为与一个电子的多次行为结果相同。 ①多个电子的一次行为 干涉图样 明条纹 暗条纹 “粒子”观点 到达电子多 少 波强度大 小 “波动”观点

6. 结论：到达屏某处电子数正比于波强度。 若总发射电子数为M，到达某处的电子 数为N，则到达某处的电子几率为N/ M ②单个电子的多次行为 干涉图样 明条纹 暗条纹 “粒子”观点 发现电子几率大 小 “波动”观点 波强度大 小 结论：这种波是一种几率波

7. 若衍射振幅用 表示，与在光学中类似， 波的强度可用 表示。 一般情况下称 为几率振幅，它描述微观粒子的运动状态，从而代替了经典体系状态（ ）的描述。由此得到 微观粒子的状态用波函数 完全描述。 波函数的统计解释： 波动性正反映了这种统计规律性，因此称为 几率波。 量子力学的基本原理之一：

8. 几率密度用 表示， t 时刻，在 端点处单位体积中发现一个粒子的几率。 z Ψ dV 而t 时刻在 端点附近dV 内发现粒子的概率为: r x y 不过它所描写的是大量粒子的统计行为。 对于单个粒子只能给出几率性的答复。 其物理涵义是(见下图）：

9. 与经典波不同，对空间中的各点， 描述同一个状态,考虑的几率是相对几率。 比如对空间中任意两点 的相对几率为 这就是波函数的统计解释。显然几率是归 一的，即 ▲几率的相对性

10. 即使归一化，波函数仍具有 的相位不稳 定性，因为 经典波相差c，强度相差 |c|2。经典波根本 谈不上归一化。 若 显然

11. 在t时刻，多粒子系的波函数可以表示为 （2）多粒子系的波函数 而

12. 一般定义内积

13. 由前述，若体系的状态用 来描述，则 粒子在给定时刻测得在 处的几率 实际上是位置的几率分布。 以经典力学中状态变量 的分布为例： 但一般情况下， 含有各种波长的分波，为 一波包。因而相应动量有一分布。 3、动量的几率分布 如测量其它力学量，几率分布如何？

14. 可以设想 同样给出 的几率分布。 那么 与 有何联系？ 答案： 是 的平面波展开，即 Fourier变换: 代表 中含有平面波 的成分 其逆变换为：

15. 设电子垂直入射到单晶表面，入射波是一 具有一定波长 的平面波。衍射沿一定 角出射，且满足Bragg公式： 器 狭缝 电 流 计 电 G θ 集 电子射线 K θ U 晶 单 镍 以电子的晶体衍射为例。

16. 设沿 出射的波幅为 因为沿 方向衍射波强度 在衍射过程中， 未变，因此衍射波谱反映 了衍射前粒子动量的几率分布。 对于一个粒子，在 方向被测到的几率 若入射波为一波包，则每一Fourier分波将 按一定角度出射，得到一波谱。在足够远 处，将在空间分开。

17. 即粒子动量在 范围内的几率为 即 也满足归一化条件。 容易验证：

18. 在前面的推导中，我们利用了δ函数的性质 同理 这样 同理可推知三维坐标矢量的δ函数的形式

19. 按照波函数的几率解释，经典轨道将会抛弃。 但由于波粒二象性，经典概念又不能全被抛弃。 4、测不准关系 那么，经典概念能多大程度上适用于量子力学？ Heisenberg将其形象地概括为 测不准关系。 Werner Karl Heisenberg德国人（1901-1976） 创立量子力学，获得1932年诺贝尔物理学奖

20. 例1 测不准关系的严格证明在第四章给出。这里从简单的例子出发引出测不准关系。 一维自由粒子具有确定的动量 p0 自由粒子动量的不确定度Δp=0 相应的波函数是平面波 即在任何位置上动量都有确定值 则 而位置完全不确定，可取任何值，

21. 例2 一维粒子位于x0处，即 Δx=0。 相应波函数 其Fourier展开为 将波函数代入即得 则 表明在位置x0处动量取各值的几率相等 故

22. 考虑Gauss波包 描述的粒子 即粒子主要局限于 , 即 例3 有 见右图：

23. 的Fourier变换为

24. 用de Broglie关系 ,容易得到 严格证明见(4.3.1) 这就是测不准关系，即粒子的坐标(位置)和动 量不能同时有确定值。它是粒子的波粒二象 性的反映。如何理解不确定性？

25. 说某一点的动量如同说在某一点的波长一样 是无意义的。然而由于h是个很小的量，所以 其实际影响与日常经验并无矛盾，但实在存在 却是本质的。对于宏观系统， 量子效应可 忽略不计。 测不准关系常用来估计体系的主要特征，而不必知道体系精确的波函数或严格求解薛定谔方程。

26. 则电子活动范围 由不确定关系 例 估算一些物理量的量级 估算 H原子的轨道半径R H原子最稳定的半径 -- 玻尔半径 解：设H原子半径为r

27. 假设核静止，按非相对论，基态电子能量为 作为数量级估算，可取 则

28. Å 最稳定，即能量最低 得

29. 前面的学习告诉我们，在 态中，不是所有的力学量都具有确定值。 但它们有一定的分布几率 5、力学量的平均值和算符的引进 因而有确定的平均值

30. 如波函数没有归一化，应当除以归一化因子，写成如波函数没有归一化，应当除以归一化因子，写成 同理

31. 另外，若波函数没有归一化，且 则

32. 但对于动量，其平均值 试思考：为什么？ 解释：粒子在某一点的动量是没有意义的 那么如何求？

33. (再利用一次FT)

34. 且 注意:

35. 此时 或

36. 这里要注意：由于测不准关系的存在， 是没有意义的，因为 不能同时有确定值。 但是 (?) (?)

37. 6、统计解释对波函数提出的要求

39. 如散射理论中的入射粒子

41. 1、量子态及其表象 §2.2 态的叠加原理 在统计物理中，我们学过量子态的概念。那 时我们把微观粒子的运动状态称为量子态。

45. 微观粒子的运动状态用波函数 完全来描述。 考虑一个波包 ，它由平面波叠加而成。在这个波包中测量动量，能测得什么值？ 下面我们学习第二个基本原理 前面我们学习了量子力学的基本原理之一： 2、态的叠加原理 问题的提出: 自由粒子的波函数是动量取确定值的态函数， 即平面波。

46. 态的叠加原理能回答这个问题。

47. 则 也是体系的一个状态 这就是态的叠加原理。

48. ﹟

49. 例如,一束线偏振光经过检偏振晶片,晶轴沿 x 方向。 入射光偏振沿 x 方向,全部通过(a); 入射光偏振沿 y方向, 全部吸收(b)。如下图： 3、光子偏振态的叠加

50. 设想：若入射光偏振与x成α角，情况如何？ 入射光的能量只有一部分（∝cos2α）通过 晶片，而另一部分则被晶片吸收。 若α=45。，入射的电场分量Ex=Ey=E，则通 过晶片后Ex=E，Ey=0。能量有一半被吸收。 由于光子具有粒子性，若用一束偏振光激发 光电子，光电子分布（有时称为角分布）将有 一优越方向。