Teorem Kochen-Specker: Implikasi, Variasi & Penyelesaian

1. Teorem Kochen-Specker:Implikasi, Variasi & Penyelesaian Hishamuddin Zainuddin Laboratori Sains Berkomputasi & Informatik, Institut Penyelidikan Matematik dan Jabatan Fizik, Fakulti Sains Universiti Putra Malaysia, 43400 UPM Serdang, Selangor

2. Susunatur • Latar belakang teori kuantum • Teorem KS & pembolehubah tersembunyi • Teorem KS dua dimensi • Teorem KS & logik kuantum • Topos & asas fizik kuantum • Penyelesaian atau tinjauan

3. Latar BelakangI • Fizik kuantum – sukar tapi popular/berjaya • Permasalahan asas teori kuantum: rumit, cenderung kepada polemik • Kemajuan asas teori kuantum – datang dari formalisme matematik e.g. ketaksamaan Bell untuk masalah EPR • Konsep keterbelitan – sumber berguna maklumat kuantum

4. Latar Belakang II • Permasalahan teori pembolehubah tersembunyi lwn kem Compenhagen • Bukti von Neumann bermasalah • 35 tahun kemudian: teorem Kochen-Specker dan Bell (lebih terperinci) • Terkini: lumba bukti teorem KS dan formalisme topos

5. Aksiom Kuantum • Perbincangan teorem KS – tidak cenderung kpd mana-mana tafsiran • Guna aksiom lazim:1. Vektor keadaan |> ruang Hilbert H2. Pembolehcerap: operator swa-adjoin O3. Pengukuran: nilai jangkaan <O> = < |O| >4. Dinamik: |,t1> = U(t1t0) |,t0>;U(t) = exp (i2Ht/h), H = Hamiltonan

6. Bukti von Neumann • Teori pembolehubah tersembunyi perlu memberi ramalan statistik sama dgn mekanik quantum • von Neumann (1932) cuba bukti tiada pembolehubah tersembunyi • Kaedah: manipulasi nilai jangkaan • < a1O1+a2O2+…+anOn> = a1< O1> + a2< O2 > + … + an < On > • Wujud operator ketumpatan : < O > = Tr(O) • Tiada  yang homogen dan rebakan sifar  tiada pembolehubah tersembunyi

7. Di Sebalik BvN • Bukti von Neumann bermasalah – tidak tolak terus teori pembolehubah tersembunyi • Syarat < O1 + O2 > = < O1 > + < O2 > untuk pembolehcerap tak serasi – memang tiada keadaan rebakan sifar • Hadkan kpd pembolehcerap serasi – OK • Ingat kembali: kaitan nilai eigen – nilai ukuran pembolehcerap • Gerak hati: tiada masalah jika pembolehcerap punyai nilai pra-tentu

8. Teorem KS I • Mengambil ciri yang perlu saja – nilai pra-tentu bagi pembolehcerap • Cari fungsi nilaian bagi pembolehcerap O untuk sistem keadaan |>: V(O) • Bagi pembolehcerap serasi A dan B:V(A+B) = V(A) + V(B) atau V(AB) = V(A) V(B) • Juga perlu V(1) = 1

9. Teorem KS II • Teorem KS: Tiada fungsi nilaian V jika dimensi ruang Hilbert > 2 • Kochen & Specker (1967): Guna 117 vektor dalam R3 untuk percanggahan nilaian • Sangat kompleks – ada perlumbaan untuk beri bukti yang paling mudah

10. Teorem KS III • Peres (1993): 33 vektorConway & Kochen: 31 vektor • Dimensi ruang Hilbert = 4 (kes 2 qubit)Peres (1991): 24 vektorKernaghan (1996): 20 vektorCabello, Esterbaranz, Garcia-Alcaine (1996): 18 vektor – kes kritikal

11. Teorem KS IV • Dimensi ruang Hilbert = 8Kernaghan & Peres (1995): 20 vektor • Bukti dgn keadaan tertentuK&P (1995): 13 vektor • Bukti dgn operator unjuran pangkat 2Toh & Hishamuddin (2009): 5 vektor

12. Ilustrasi KS I • Ilustrasi (tanpa vektor) sistem 2 qubit • 9 pembolehcerap:Setiap baris/lajur – saling serasi

13. Ilustrasi KS II • Hasildarab dalam setiap baris (B)/lajur (L):B1: (1z)(z1)(z  z ) = 1  1B2: (x1)(1x)(x  x ) = 1  1B3: (x z)(zx)(y  y ) = 1  1L1: (1 z)(x1)(x  z ) = 1  1L2: (z 1)(1  x)(z  x ) = 1  1L3: (z z)(x  x)(y  y ) = 1  1

14. Ilustrasi KS III (1)(1) (1) = 1(1)(1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1(1)(1) (1) = 1(1)(1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1 • Pemetaan nilaian:B1: m1zmz1mzz = 1B2: mx1m1xmxx = 1B3: mxzmzxmyy = 1L1: m1zmx1mxz = 1L2: mz1m1xmzx = 1L3: mzzmxxmyy =  1 • Setiap nilai m muncul dua kali • Hasildarab kanan = 1; hasildarab kanan =  1Percanggahan jika nilaian tak berkonteks • Jika nilaian berkonteks – OK (lihat kes berwarna)

15. Implikasi KS I Jika teori pembolehubah tersembunyi dibenarkan, maka fungsi nilaian adalah berkonteks Teori pembolehubah tersembunyi berkonteks Atau tiada pra-nilaian pembolehcerap!

16. Variasi I KS I • Gerak hati: struktur matematik kuantum berbeza menyebabkan percanggahan nilaian • Mengapa perlu kualifikasi dimensi ruang Hilbert (kes qubit tunggal)? • Benarkan output pengukuran melebihi dimensi ruang Hilbert – guna ukuran bernilai operator positif (POVM)

17. Variasi I KS II • Set operator separa tentu positif {Ei} (i = 1…N) dgn i Ei = 1; tidak semesti saling ortogon • Bagi kes qubit: Ei = N1(I + n.) dgn n vektor unit • Nakamura: heksagon dgn 6 operator EiCabello: dodekahedron dgn 5 set operator (bilangan 20) • Percanggahan dalam nilaian Ei – berkonteks • Toh & Hishamuddin (2009): model Nakamura teritlak berdasarkan punca unit

18. Variasi II KS I • Sebelum: percanggahan nilaian dalam teorem KS – nilaian {0,1} untuk operator unjuran – dianggap sebagai nilai kebenaran logik • Aljabar operator unjuran membentuk kekisi Hilbert  logik kuantum tapi tidak teragihA  (B  C)  (A  B)  (A  C)

19. Variasi II KS II • Itlakkan fungsi nilaian – bukan semestinya nombor • Isham & Butterfield (1998): guna teori topos pra-rumpunan – pengkelas subojek sebagai ganti {0,1} • Logik berasaskan aljabar HeytingS   S  1 • Döring & Isham (2008): penggunaan bahasa formal, perincian teori aljabar von Neumann • Landsman & rakan (2007): guna aljabar C* sebagai ganti • Hishamuddin (20??): … kaedah topos utk kes 2 atau 3 qubit (impian dlm proses)

20. Implikasi KS II Jika dibangunkan logik untuk teori kuantum, maka logik kuantum adalah berkonteks dan bernilaian teritlak Logik kuantum = Logik berintuisi Atau perlu hadapi logik tak teragih

21. Penyelesaian?(atau soalan) • Mana satu dekat dgn konsep realiti yang dikenali? Pemboleh ubah berkonteks atau tiada pra-nilaian yang tentu? • Mana satu dekat dgn fahaman logik yang dikenali? Logik berkonteks & berintuisi atau logik tak teragih • Pandangan luaran atau pandangan dalaman?

22. Tinjauan • Bukti teorem KS umum dalam POVM • Kaitan antara bukti teorem KS lazim dgn kaedah topos • Melengkapkan kaedah topos utk pelbagai masalah teori kuantum • Kaitan kaedah topos dgn kaedah lain spt kaedah rajah Bob Coecke • Geometri atau struktur tambahan lain dalam kaedah topos

23. Penghargaan • Geran SAGA P55c, ASM, MOSTIGeran Fundamental 01-01-07-170FR, MOHE • Perbincangan dengan Andreas Döring, Karl Svozil, L.C. Kwek • Pengurusan ITMA dan INSPEM