Analisi e Gestione del Rischio

Analisi e Gestione del Rischio Lezione 5 Calcolo del VaR

Variazione percentuale del valore delle posizioni • Definiamo, al tempo t, per un certo mercato, • Un insieme di scadenze t1,t2,…tn • Un insieme di cash-flow nominali c1,c2,…cn • Un insieme di fattori di sconto P(t,t1),P(t,t2)…P(t,tn) • Il valore del portafoglio al tempo t è V(t) = c1P(t,t1)+ c2P(t,t2)+ …+cn P(t,tn) • Al tempo t+, es. la fine della giornata il valore è P(t+,ti)=(1+ri) P(t ,ti) per ogni i, cosicché V(t+)-V(t) = c1r1P(t,t1)+ c2r2P(t,t2)+ …+cnrn P(t,tn)

Calcolo del Value-at-RiskIl problema di fondo • Il problema centrale per la costruzione di un sistema di misurazione del rischio risiede nella determinazione della distribuzione di probabilità congiunta delle variazioni percentuali di valore r1, r2,…rn. • L’ipotesi più semplice è assumere che essi siano generati da una distribuzione normale multivariata L’approccio RiskMetrics™ è coerente con un modello a distribuzione “localmente” normale, coerente con un modello Garch integrato.

Metodologie VaR • VaR parametrico: assume distribuzione (condizionatamente) normale (modello EWMA) e usa i parametri di volatilità e correlazione • Simulazione Monte Carlo: vengono simulati scenari con la tecnica Monte Carlo, le posizioni vengono rivalutate in ogni scenario e viene calcolato il percentile empirico delle perdite. • Simulazione storica: vengono simulati scenari sulla base dell’andamento storico dei mercati e viene calcolato il percentile empirico delle perdite

Volatilità storica • Un’alternativa alla stima della volatilità implicita è l’utilizzo della volatilità storica • La volatilità storica non richiede la presenza di un mercato delle opzioni liquido, ed è applicabile ad un largo numero di mercati • La stima della volatilità storica è pero rivolta al passato (backward looking) e soggetta a due problemi • Rischio di stima della volatilità • Rischio di modello (fluttuazione della volatilità)

La volatilità del Mib30

Modelli Garch(p,q) • La distribuzione del rendimento condizionale alla volatilità è normale, ma la volatilità varia nel tempo con un processo autoregressivo di tipo ARMA(p,q). Ad es. il Garch(1,1) è:

Garch: ABC… • In un modello Garch la distribuzione NON condizionale dei rendimenti non è normale, ed in particolare ha code “grasse” (“fat-tails”): eventi estremi sono più probabili rispetto alla distribuzione normale • In un modello Garch la varianza futura è prevista ricursivamente dalla formula • Il grado di persistenza è dato da 1 + 1  1

Un Garch particolare… • Assumiamo:  = 0 e 1 + 1 = 1. In questo caso abbiamo un Garch integrato (Igarch): • i) la volatilità è persistente: ogni shock rimane per sempre nella storia della volatilità • ii) il miglior previsore della volatilità al tempo t + i è quella al tempo t + i – 1. • iii) la volatilità al tempo t è data da (  1)

…di nome EWMA • Notiamo che l’IGarch(1,1) con  = 0 corrisponde a un modello in cui la volatilità è calcolata come una media mobile a pesi che decadono esponenzialmente (EWMA). • Il modello, con parametro  = 0.94, è impiegato da RiskMetrics™ per valutare volatilità e correlazioni. • Il modello corrisponde a una stima di volatilità che pesa in maniera decrescente le osservazioni più recenti (il parametro usato corrisponde a 75 osservazioni)

Stime di volatilità: il Mib30

Ghost feature • La modulazione dei pesi nella opzione EWMA consente di ridurre il cosiddetto problema della ghost feature nei dati • Ghost feature: uno shock continua a avere effetto sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui resta nel campione, e quando ne esce la stima di VaR cambia senza un motivo apparente. Attribuire pesi via via decrescenti agli shock attutisce questo fenomeno.

Calcolo dell’esposizione giornaliera Daily Earning at Risk (DEaR) • Definiamo, al tempo t pi=ciP(t,ti) il valore marking-to-market del cash-flow i ri, la variazione percentuale giornaliera del fattore di rischio i-esimo • Se ri ha distribuzione normale con media i e volatilità i, Prob(ri < i - i 2.33) = 1% Se i = 0, Prob(ri pi < - i pi 2.33) = 1% DEaRi = i pi 2.33 = Maximum probable loss (1%)

Una considerazione • Il modello RiskMetrics™ assume (i = 0) e cioè che il tasso di crescita dei rendimenti sia pari a 0. • La scelta non è giustificata, se non come approssimazione, sotto il profilo finanziario, perché sappiamo che i= rendimento risk-free + premio per il rischio • La scelta è giustificata sotto il profilo statistico, perché l’assunzione i = 0 consente di ridurre il rischio di stima della volatilità. Il rendimento giornaliero è estremamente difficile da stimare.

Aggregazione della misura di rischio per posizioni diverse • Una volta calcolato il valore della misura di rischio DEaRi per ogni posizione i, per i = 1,2,….n vogliamo ricostruire la misura di rischio per aggregati che rappresentino, ad es.: i) diverse unità di business, ii) diversi mercati. • Il calcolo della misura di rischio aggregata viene fatta secondo due modalità • DEaR (VaR) non diversificato (somma dei DEaRi) • DEaR (VaR) diversificato (forma quadratica calcolata con la matrice di correlazione C)

DEaR diversificato

Dal DEaR al VaR • Passare dalla massima perdita giornaliera DEaR al Value-at-Risk richiede la definizione del periodo di smobilizzo (unwinding period) • La relazione è • N.B. La relazione è basata sull’assunzione che: • i) gli shock non siano correlati serialmente; • ii) la composizione del portafoglio resti inalterata nel periodo di smobilizzo

VaR diversificato e non • Il VaR non diversificato, calcolato come somma dei VaR di ciascuna posizione, rappresenta un’assunzione estrema di perfetta correlazione tra i rischi • Il VaR diversificato tiene conto della correlazione parziale tra le posizioni • Il rapporto tra VaR diversificato e VaR non diversificato rappresenta un indice sintetico di diversificazione del portafoglio.

Esempio • Posizione: 1 mil. di euro su azionario Italia e 0.5 mil. di euro su azionario US. Le azioni sul mercato US sono denominate in dollari. • Esposizione: 1 000 000 Euro azionario Italia 500 000 Euro azionario USA 500 000 Euro rischio di tasso US/Euro

Esempio: i dati di mercato • Assumiamo che i dati di mercato dei fattori di rischio siano i seguenti • Volatilità giornaliera del fattore di rischio • Rischio azionario Italia (75 punti base) • Rischio azionario US (50 punti base) • Rischio di cambio (30 punti base) • Correlazione rischi • Correlazione azionario Italia/US: 0.5 • Correlazione rischio di cambio/rischio azionario: 0 (sia per l’azionario Italia che US)

Esempio: risultati • Calcoliamo il VaR per ogni esposizione per un livello di probabilità del 99% e un tempo di smobilizzo di 10 giorni • VaR azionario Italia: 55 174 (5.52%) • VaR azionario US: 18 391 (3.68%) • VaR rischio di cambio US: 11 035 (2.21%) • Per tutto il portafoglio otteniamo un VaR non diversificato pari a 84 600 Euro (4.23% della esposizione) ed un VaR diversificato di 75 740 Euro (3.79% dell’esposizione).

VaR parametrico: problemi • Non linearità dei pay-off. La presenza di opzioni introduce un elemento di convessità o concavità che non è rappresentabile dal VaR parametrico • Non normalità (condizionale) dei rendimenti: il modello EWMA può non essere sufficiente a tener conto della lepto-curtosi dei rendimenti • Appropriatezza della misura di VaR per rappresentare il rischio di diverse posizioni in maniera coerente

Validazione del Value-at-Risk • Una volta scelta costruito un sistema per il calcolo del Value-at-Risk, come se ne testa l’efficacia? • Una possibile strategia è quella di verificare quante volte nella storia passata le perdite registrate sono risultate superiori alla misura VaR calcolata • Procedure di validazione (o backtesting)

Test di Kupiec • Un test statistico suggerito da Kupiec è basato sull’ipotesi che gli sforamenti delle perdite rispetto al VaR siano indipendenti. • Se questo è il caso l’estrazione di un numero x di sforamenti su un totale di N tentativi, e sotto l’ipotesi che ciascuno di essi si verifichi con probabilità  dovrebbe avere distribuzione binomiale

Likelihood ratio • Il test è un rapporto tra la probabilità di estrarre x sforamenti dalla distribuzione binomiale rispetto alla probabilità teorica. • Il test, distribuito come chi-quadro con un grado di libertà è

Esempio • Nelle applicazioni tipicamente di prende un anno di dati e un intervallo di confidenza dell’1% • Se assumiamo di osservare, ad esempio, 4 sforamenti in un anno, calcoliamo • Poiché il valore del chi-quadro con un grado di libertà è 6.6349 l’ipotesi di accuratezza del VaR non è rigettata (il p-value di 0.77 è 38,02%)

L’estensione di Christoffersen • Il test di Kupiec è basato sull’ipotesi di sforamenti serialmente indipendenti. • Christoffersen ha proposto un’estensione che tiene conto della dipendenza seriale. Si tratta di un test congiunto delle due ipotesi. • I dati vengono filtrati ed il test congiunto è scritto come LRcc = LRun + LRind dove LRun è il test non condizionale e LRind è quello di indipendenza. Il test congiunto è distribuito con 2 gradi di libertà

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