Analisi e Gestione del Rischio

1. Analisi e Gestione del Rischio Lezione 5 Calcolo della volatilità

2. La scelta dell’informazione • Informazione storica • Vantaggi: dati storici possono essere usati per la previsione di rischi futuri su un largo numero di mercati • Svantaggi: la storia non si ripete mai nello stesso modo, ed è difficile prevedere i cambiamenti strutturali, che sono invece al centro dell’interesse del risk-manager • Informazione implicita • Vantaggi: l’analisi cross-section dei prezzi (es volalità implicite) può estrarre la previsione di mercato del rischio, inclusi i cambiamenti strutturali • Svantaggi: è disponibile per un numero limitato di mercati sufficientemente liquidi. • L’informazione cui è interessato il risk-manager riguarda la distribuzione dei rendimenti, in prima approssimazione la loro volatilità.

3. Volatilità storica • Un’alternativa alla stima della volatilità implicita è l’utilizzo della volatilità storica • La volatilità storica non richiede la presenza di un mercato delle opzioni liquido, ed è applicabile ad un largo numero di mercati • La stima della volatilità storica è pero rivolta al passato (backward looking) e soggetta a due problemi • Rischio di stima della volatilità • Rischio di modello (fluttuazione della volatilità)

4. Il rischio di stima • Il rischio di stima della volatilità, rispetto allo stimatore classico di volatilità, può essere ridotto ricorrendo a informazione su • Quotazioni di apertura e di chiusura della giornata • Quotazioni massime e minime della giornata • Stimatori: i) Garman e Klass; ii) Parkinson; iii) Rogers e Satchell; iv) Yang e Zhang

5. Rischio di stima (1) • Oi e Ci rispettivamente prezzi di apertura e chiusura del giorno i. • Hi e Li rispettivamente prezzi massimo e minimo del giorno i. • Parkinson: • GK

6. Rischio di stima (2) • Definiamo: oi = Oi – Ci-1, hi = Hi – Oi, li = Li – Oi, ci = Ci – Oi. Inoltre 2o e 2c sono le varianze calcolate sui prezzi di apertura e chiusura rispettivamente • Rogers-Satchell : • Yang-Zang:

7. Rischio di stima (3) • Parkinson: 5 volte più efficiente • Rendimento medio = 0; “opening jump” f = 0 • Garman e Klass: 6 volte più efficiente • Rendimento medio = 0; “opening jump” f 0 • Rogers e Satchell: • Rendimento medio  0; “opening jump” f = 0 • Yang e Zhang: • Rendimento medio  0; “opening jump” f 0

8. Esempio: dati sul Mib30

9. I risultati dell’elaborazione

10. Rischio di modello • Oltre al rischio di stima, la volatilità stessa del mercato può cambiare nel corso del tempo. • Modelli Garch: shock che raggiungono il rendimento ne modificano la volatilità al periodo successivo • Modelli a volatilità stocastica: la volatilità del rendimento è influenzata da shock che possono essere correlati con shock che raggiungono il rendimento stesso (ma la correlazione non è perfetta)

11. La volatilità del Mib30

12. Modelli Garch(p,q) • La distribuzione del rendimento condizionale alla volatilità è normale, ma la volatilità varia nel tempo con un processo autoregressivo di tipo ARMA(p,q). Ad es. il Garch(1,1) è:

13. Garch: ABC… • In un modello Garch la distribuzione NON condizionale dei rendimenti non è normale, ed in particolare ha code “grasse” (“fat-tails”): eventi estremi sono più probabili rispetto alla distribuzione normale • In un modello Garch la varianza futura è prevista ricursivamente dalla formula • Il grado di persistenza è dato da 1 + 1  1

14. Un Garch particolare… • Assumiamo:  = 0 e 1 + 1 = 1. In questo caso abbiamo un Garch integrato (Igarch): • i) la volatilità è persistente: ogni shock rimane per sempre nella storia della volatilità • ii) il miglior previsore della volatilità al tempo t + i è quella al tempo t + i – 1. • iii) la volatilità al tempo t è data da (  1)

15. …di nome EWMA • Notiamo che l’IGarch(1,1) con  = 0 corrisponde a un modello in cui la volatilità è calcolata come una media mobile a pesi che decadono esponenzialmente (EWMA). • Il modello, con parametro  = 0.94, è impiegato da RiskMetrics™ per valutare volatilità e correlazioni. • Il modello corrisponde a una stima di volatilità che pesa in maniera decrescente le osservazioni più recenti (il parametro usato corrisponde a 75 osservazioni)

16. Stime di volatilità: il Mib30

17. Ghost feature • La modulazione dei pesi nella opzione EWMA consente di ridurre il cosiddetto problema della ghost feature nei dati • Ghost feature: uno shock continua a avere effetto sulla stima del VaR per tutto il periodo in cui resta nel campione, e quando ne esce la stima di VaR cambia senza un motivo apparente. Attribuire pesi via via decrescenti agli shock attutisce questo fenomeno.