Analisi e gestione del rischio

1. Analisi e gestione del rischio Lezione 11 Introduzione al rischio di credito Modelli Strutturali

2. Titoli defaultable • I titoli defaultable (con rischio di default) sono strumenti di debito emessi da entità soggette a rischio di bancarotta, e l’emittente può non essere in grado di fare fronte alle proprie obbligazioni prima della scadenza. • Titoli defaultable: esempi • Titoli corporate: emessi da aziende private • Titoli con rischio sovereign: emessi da paesi • Titoli municipali: emessi da autorità regionali

3. Rischio di default: determinanti • Il rischio di default implica la possibilità di perdere parte o tutto il capitale prestato alla controparte. • Determinanti del rischio di default • Probabilità di default • Ammontare che è possibile recuperare nell’evento di default (recovery rate, RR) o in alternativa la Loss Given Default (LGD) uguale a 1 – RR.

4. Rischio di default: misure • Premio per il rischio di default • Expected loss: la diminuzione di valore di un titolo che è determinata dal rischio di default EL = DP X Lgd • Credit spread: la differenza tra il rendimento a scadenza di un titolo con rischio di deafult e quello di un titolo privo di rischio con le stesse caratteristiche finanziarie Credit spread = – ln(1 – EL)/maturity

5. Modelli del rischio di default • Modelli strutturali • Il rischio è determinato a partire da un modello della struttura finanziaria e industriale dell’emittente dell’obbligazione (la sua linea di business ed il suo stato patrimoniale) • Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria delle opzioni • Modelli in forma ridotta (intensity based) • Il rischio è modellato sulla base di ipotesi statistiche sulle probabilità di default ed il tasso di recupero • Il premio per il rischio è determinato a partire dalla teoria della struttura a termine

6. Modelli strutturali L’approccio di Merton • Nel modello di Merton (1974), il paper che ha inaugurato il filone dei modelli strutturali, il valore dell’attivo del debitore determina congiuntamente • La probabilità di default • Il recovery rate nell’evento di default • Il valore del debito e del capitale dell’impresa • Il valore dei titoli corporate è determinato sulla base della teoria delle opzioni

7. Min(B,V(T))= B – max(B – V(T),0)

8. Min(B,V(T))= V(T) – max(V(T)–B,0)

9. Il modello di Merton • Il debito è un titolo zero-coupon-bond, cioè interesse e capitale sono pagati in un’unica soluzione alla maturità. • Il rischio di default è descritto dal pay-off Valore del debito alla maturità = min (B,V(T)) …e può essere scomposto alternativamente come min (B,V(T)) = B - max(B - V(T), 0), cioè Debito = Risk-free - put(V,t; B,T) min (B,V(T)) = V(T) - max(V(T) - B, 0), cioè Debito = Valore dell’attivo - call(V,t; B,T)

10. Modigliani-Miller • Dalla relazione di parità tra opzioni put e call abbiamo V = B - put(V,t; B,T) + call(V,t; B,T) V = valore dell’attivo (valore dell’impresa) Call(V,t; B, T) = Valore del capitale • La caratteristica dell’opzione del capitale deriva da i) leverage ii) limited liability • Put (V,t; B, T) = Premio per il rischio di default

11. Un modello binomiale

12. Credit spread • Dalla valutazione di derivati con alberi binomiali Debito = P(t,T)[B – (1 – Q )(B – V(L))] con Q = (V(t)/P(t,T) - V(L))/(V(H) - V(L)) …e in termini di rendimento a scadenza… Debito defaultable = B exp(–r*(t,T)(T - t)) Debito risk-free = P(t,T) = B exp(–r(t,T)(T - t)) …otteniamo il credit spread r*(t,T) – r(t,T) = – ln[1 –(1 – Q)(1 – V(L)/B]/(T- t)

13. Determinanti dei credit spread • Il credit spread è non-negativo r*(t,T) - r(t,T) = - ln[1- (1 - Q )(1- V(L)/B]/(T- t) • Il credit spread tende a zero se • La probabilità di default tende a zero • La perdita va a zero (recovery rate uguale a 1) • Il credit spread raggiunge il suo valore massimo quando il tasso di recupero va a zero r*(t,T) - r(t,T) = - ln[ Q ]/(T- t)

14. Un esempio: finanziamento di un progetto Valore attivo Debito Equity Valore di mercato dell’equity = 30 Prezzo del titolo risk-free = 1 Valore nominale del debito = 80 120 80 40 40 40 0

15. Soluzione • Dal prezzo di mercato del capitale, cioè 30, possiamo calcolare la probabilità di sopravvivenza da 30 = Q 40 + (1 - Q) 0, cosicché Q = 0.75 e la probabilità di default aggiustata per il rischio è 0.25 • Il debito è valutato come Q 80 + (1 – Q) 40 = 70 • Dal teorema di Modigliani-Miller calcoliamo il valore del progetto come: V = 70 + 30 = 100 • N.B. Il valore del sottostante, cioè il progetto, è determinato a partire dal valore del derivato, cioè il capitale dell’azienda.

16. Modello di Merton • Merton sviluppa nel tempo continuo le stesse idee che abbiamo mostrato in un modello discreto. Il valore dell’azienda segue un processo geometrico browniano ed i valori di capitale e debito sono determinato utilizzando la formula di Black e Scholes. Le determinanti chiave dei credit spread sono 1) Il leverage: quasi-debt-to-firm-value-ratio 2) La volatilità del valore dell’attivo

17. Modello di Merton • Valore dell’impresa: processo geometrico browniano dV = Vdt + VVdw(t) = (r+V)Vdt + VVdw(t) • Valore del capitale: un’opzione call

18. Modello di Merton • Il valore del debito: …può essere scomposto come…

19. Modello di Merton …debito default-free meno una default put option …e in termini moderni…

20. Modello di Merton …debito default-free per (1 – Dp x Lgd) Dp = Default probability Lgd = Loss given default = 1 – RR Quasi-debt to firm value (quasi-leverage) d = Bexp(–r(T – t))/V(t)

21. Copertura del rischio di credito • Rischio di credito significa una posizione corta in un’opzione put, ed un’esposizione al rischio del progetto finanziato (delta = 1 – N(d1)) • Strategia 1: acquistare una default put/swap • Si tratta di un derivato di credito che consente di acquistare “protezione” sull’esposizione al rischio di credito • Strategia 2: vendere azioni dell’emittente • Poiché le azioni sono opzioni call rappresentano un’esposizione positiva al rischio del progetto (delta = N(d1)) una posizione corta in titoli di capitale riduce l’esposizione netta al rischio del progetto finanziato

22. Modello KMV™ • Il modello KMV ricava le stime di V e V dai valori e dalla volatilità dei titoli azionari. Su questa base possiamo valutare la probabilità di default al tempo T • Notiamo che è usato il drift oggettivo , per ricavare la stima della probabilità oggettiva • Nel modello KMV la distribuzione empirica dei casi di default è utilizzata infine per tener conto della non-normalità della distribuzione

23. Il modello di Merton e i dati:la maturità a 10 anni (USA)

24. Covenants (Black e Cox, 1976) • Una delle limitazioni del modello di Merton consiste nel fatto che il default avviene a scadenza. Nella realtà l’episodio di default può avvenire prima della scadenza, quando il valore dell’azienda raggiunge un livello inferiore minimo. • Black & Cox (1976) estendono il modello di Merton per tener conto del fatto che il valore del debito può essere monitorato prima della scadenza attraverso l’osservazione di safety covenants: se il valore dell’azienda scende al di sotto di un certo livello, i creditori possono forzare la restituzione del debito. • E’ evidente che in questo caso il valore del capitale è un’opzione call con barriera (down-and-out call).