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Analisi e gestione del rischio. Lezione 12 – Rischio di credito di portafogli. Rischio di portafogli di crediti. Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti si è particolarmente sviluppato in prodotti che forniscono l’esposizione a un portafoglio di credito.
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Analisi e gestione del rischio Lezione 12 – Rischio di credito di portafogli
Rischio di portafogli di crediti • Il mercato dei prodotti strutturati degli anni recenti si è particolarmente sviluppato in prodotti che forniscono l’esposizione a un portafoglio di credito. • I derivati su basket di crediti hanno svolto lo stesso ruolo dei derivati creditizi a livello univariato. Possono essere utilizzati • Per trasferire il rischio di credito • Per costruire sinteticamente esposizioni a portafogli di “nomi”
Portafogli di CDS • Assumiamo di avere un portafoglio di un numero limitato anche se non trascurabile di CDS (assumiamo 50-100 nomi, ad esempio) • Vogliamo definire la probabilità di perdita su tutto il portafoglio. Definiamo Q(k) la probabilità di osservare kdefault entro la scadenza del CDS e assumiamo, per semplicità che la LGD sia data e la stessa per tutti gli n nomi.
Derivati “first-to-default” • Consideriamo un derivato di credito che paga “protezione”, la prima volta che un elemento del paniere di “nomi” di riferimento è in default. La protezione si estende fino al tempo T. • Valore del derivato è FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) • Q(0) è la probabilità di sopravvivenza di tutti i nomi nel basket. Possiamo anche scrivere Q(0) Q(1 > T, 2 > T…)
Derivati “first-x-to-default” • Consideriamo invece un derivato di credito che paga “protezione”, sui primi x default dei “nomi” di riferimento del paniere precedente. • Il valore del derivato sarà ovviamente
La specificazione di Q(x) • Valutare i derivati di credito su basket richiede quindi la specificazione della distribuzione congiunta di default Q(x) • Tale distribuzione dipende da due elementi • La probabilità di default (e la LGD, se considerata stocastica), di ciascun “nome” nel basket • La struttura di correlazione (dipendenza) tra default (e LGD) dei “nomi” nel basket.
Modelli di Q(x) • Le ipotesi che possono essere fatte sulla perdita attesa di ciascun nome sono • Pool omogeneo di nomi (stessa probabilità di default e stessa LGD) • Pool eterogeneo di nomi (diversa probabilità di default e diversa LGD) • Le ipotesi sulla struttura di dipendenza sono • Default indipendenti • Modelli in forma ridotta multivariati (Marshall Olkin) • Funzioni di copula • Factor copula (default condizionalmente indipendenti)
Default indipendenti • Nell’ipotesi che i default siano indipendenti le scelte più ovvie per la distribuzione congiunta sono • La distribuzione binomiale • La distribuzione di Poisson
Intensità di portafoglio • Il modello di Poisson è particolarmente utile perché consente l’immediata estensione dei modelli in forma ridotta a portafogli di crediti. • L’assunzione di indipendenza implica che Q(0) = Q(1 > T, 2 > T…) = Q(1 > T) Q(2 > T)… e nei modelli intensity based Q(1 > T) Q( 2 > T)…= exp[– (1 + 2 +…)(T – t)] • Otteniamo quindi un’intensità di default di portafoglio che è la somma delle intensità di default individuali dei singoli nomi: = 1 + 2 +…
Valutazione di un first-to-default • Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) • Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)]) = LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…)(T – t)]) • Il problema è trovare un’estensione di questo modello al caso in cui ci sia dipendenza tra gli eventi di default.
Distribuzione di Marshall Olkin • La distribuzione di Marshall Olkin è la naturale estensione del processo di Poisson al caso multivariato. • Assumiamo il caso di due “nomi”. Secondo la distribuzione di Marshall Olkin abbiamo Q(1 > T, 2 > T) = exp[– (1 + 2 + 12)(T – t)] • La correlazione tra i tempi di sopravvivenza è 12 = 12 /(1 + 2 + 12)
Intensità di portafoglio • L’idea della distribuzione di Marshall Olkin è che shock diversi causano il default di sotto-insiemi dei nomi. • Il problema è che può esistere un numero arbitrariamente alto di shock, e questo rende la calibrazione del modello proibitiva • In genere viene proposta la specificazione
Valutazione di un first-to-default • Ricordiamo che il valore di un first-to-default swap è ricavato da FTD = LGD v(t,T)(1 – Q(0)) • Nel caso di default indipendenti abbiamo quindi LGDv(t,T)(1 – exp[– (T – t)]) = LGDv(t,T)(1 – exp[– (1 + 2 +…+ n+ 12…n)(T – t)]) • Si noti che l’aumento della correlazione tra i tempi di default riduce il valore del contratto first-to-default.
