Analisi e Gestione del Rischio

1. Analisi e Gestione del Rischio Lezione 7 Non normalità dei rendimenti e simulazione storica

2. Non normalità dei rendimenti • L’assunzione di normalità dei rendimenti non è generalmente supportata dai dati: • Asimmetria • Leptocurtosi • La non-normalità dei rendimenti riguarda sia la specificazione della distribuzione dei fattori di rischio sia la determinazione dei prezzi.

3. Informazione implicita e storica • La letteratura sulla non normalità dei rendimenti riguarda sia l’informazione storica (analisi serie storiche) sia l’informazione implicita (analisi dei prezzi delle opzioni) • Modelli econometrici: hanno studiato possibili distribuzioni alternative alla distribuzione normale • Modelli finanziari: hanno cercato tecniche alternative di determinazione dei prezzi dei titoli derivati (opzioni) coerenti con distribuzioni alternative a quella normale

4. Oltre Black & Scholes • Il modello di Black & Scholes implica la stessa volatilità per ogni contratto derivato • Dal crash del 1987, questa regolarità non è supportata dai dati • La volatilità implicita varia per diversi strike (smile effect) • La volatilità implicita varia per diverse date di esercizio (struttura a termine di volatilità) • Il sottostante non ha distribuzione log-normale.

5. Smile, please!

7. Non-normalità dei rendimenti • La distribuzione normale è completamente descritta dai primi due momenti, media e varianza. • La varianza di una variabile a distribuzione normale è costante. • Non normalità dei rendimenti significa che la varianza • Non esiste (es. distribuzioni di Cauchy) • E’ una variabile stocastica

8. Momento terzo: asimmetria • La distribuzione normale è simmetrica. • Distribuzione non normale può significare asimmetria nella distribuzione, cioè diversa probabilità di aumento e diminuzione del prezzo • I trader sanno che una distribuzione asimmetrica è legata a volatilità implicite decrescenti all’aumentare della moneyness (trade the skew)

9. Momento quarto: curtosi • La distribuzione normale standard ha curtosi pari a 3. Distribuzioni con eccesso di curtosi presentano il cosiddetto fenomeno di “code grasse” (fat tails) • Leptocurtosi significa che la probabilità di eventi estremi è maggiore di quanto previsto dalla distribuzione normale • Evidenza da serie storiche: ad esempio, un evento come il crollo di borsa del 19/10/87 avrebbe, sotto l’ipotesi di normalità dei rendimenti una probabilità pari a 10-160!!

10. Modelli econometrici • I primi modelli econometrici utilizzati per spiegare la non-normalità dei rendimenti sono stati i modelli Garch. • L’assunzione è che il il rendimento di un titolo segua una distribuzione a media zero e varianza ht: H(0,ht). • La varianza varia nel tempo in funzione di un processo autoregressivo, ad esempio ht =  +  shock2t-1 +  ht -1

11. Modelli Arch/Garch • Nei modelli Arch/Garch standard si assume che i rendimenti condizionali siano distribuiti normalmente: H(.) è la distribuzione normale • In applicazioni più evolute si assume che anche H non sia distribuita normalmente, ma che sia per esempio una T-student o una funzione GED (generalised error distribution). In alternativa possono anche venire anche utilizzate delle metodologie non parametriche (semi-parametric Garch)

12. Asimmetria di volatilità • Un problema dei modelli Garch è che la risposta del rendimento a shock di segno diverso è la stessa. • Possibili soluzioni consistono nel • distinguere il segno nella equazione dinamica della volatilità Threshold-GARCH (TGARCH) ht =  +  shock2t-1 +  D shock2t-1 +  ht -1 D = 1 se lo shock è positivo e zer altrimenti • Utilizzare una forma esponenziale EGARCH log(ht ) =  + g (shockt-1 / ht -1 )+  log(ht -1 ) con g(x) = x + ( x - E(x )).

13. Il problema della persistenza • Uno dei problemi dei modelli Garch è il fatto che la stima della volatilità su orizzonti più lontani non è affidabile. Un problema molto rilevante per prodotti di finanza strutturata. • Soluzioni: • Component Garch: ripartizione della varianza in una componente di trend e una di breve periodo • Figarch (Fiegarch): la varianza segue un processo autoregressivo a “integrazione frazionaria”.

14. Dai modelli Garch ai modelli a volatilità stocastica • Un limite dei modelli Garch è che sia la dinamica della variabile che la sua volatilità sono determinati dallo stesso shock. • Perché non considerare due shock distinti, anche se correlati, tra la variabile e la sua volatilità? • Modelli a volatilità stocastica. ht =  +  shock2t-1 +  ht -1 + 2t -1

15. Break strutturali • Un altro modo di rappresentare la volatilità nel tempo è quello di assumere che la volatilità possa cambiare con un processo “a salto”. • Modelli “switching regime”: la volatilità del processo varia tra un numero finito di possibili “stati” • Modelli “a salto”: la volatilità procede per variazioni “finite”, piuttosto che continue.

16. Dati ad alta frequenza • Per alcuni mercati sono disponibili dati ad alta frequenza (transaction data o tick-by-tick). • Vantaggi: poter analizzare il processo dinamico del prezzo su intervalli di tempo molto brevi • Svantaggi: le statistiche possono essere sporcate da questioni di “microstruttura dei mercati finanziari” • Modelli “realised variance”: utilizzare statistiche intra-giornaliere per rappresentare la varianza, invece della variazione (logaritmica) al quadrato su base giornaliera.Tipicamente vengono rilevati i rendimenti su intervalli di 5 minuti. Ne viene calcolata la varianza e successivamente la dinamica giornaliera.

17. Processi stocastici subordinati • Considerate la sequenza delle variazioni logaritmiche del prezzo in un intervallo dato, ad esempio 5 minuti. Il rendimento cumulato R = r1 + r2 +… ri + …+ rN è una variabile che dipende dai processi stocastici a) i rendimenti logaritmici ri. b) il numero delle transazioni N. • R è un processo stocastico subordinato e N è il processo subordinatore. Clark (1973) mostra che R è un processo a “code grasse”. La volatilità sale quando sale il numero delle transazioni, ed è per questo correlata con i volumi.

18. Orologio stocastico • Il fatto che il numero delle transazioni come variabile stocastica induca non-normalità dei rendimenti suggerisce la possibilità di ricavare la normalità dei rendimenti, ponderandoli per tenere conto del diverso numero delle transazioni. • In pratica l’unità di misura del tempo viene cambiata in funzione del numero delle transazioni. Il tempo si dilata e si restringe con il numero di transazioni (stochastic clock)

19. Processi di Lévy • Non solo il tempo viene considerato non continuo, anche i prezzi non sono variabili continue, ma variano di numeri di tick di dimensione finita. • Per questo motivo, un possibile modello di rappresentazione dei prezzi è dato da una variabile “a salti puri” (pure jump). • Processi stocastici misti (diffusivi e a salti) sono noti come processi di Levy. Esempi di utilizzo di processi di Levy: modelli Variance-Gamma, modelli CGMY (Carr-Geman-Madan-Yor).

20. Fat tails • Affrontare la non-normalità dei rendimenti richiede la soluzione di tre problemi • Tecniche di compressione dei dati per l’applicazione di modelli univariati • Determinazione del tipo di informazione da utilizzare • Scelta del modello da utilizzare in sostituzione della distribuzione normale

21. Compressione dei dati • Prima opzione: rivalutare il portafoglio corrente su dati storici e stimare o simulare la distribuzione con tali dati. • Seconda opzione: stimare la distribuzioni dei fattori di rischio più rilevanti e le sensitività del portafoglio a tali fattori • Terza opzione: le tecniche statistiche tradizionali (componenti principali e modelli fattoriali)

22. La distribuzione dei rendimenti • Prima opzione: scegliere un nuovo modello, o una nuova classe di modelli di distribuzione • Seconda opzione: simulare la distribuzione utilizzando dati storici • Terza opzione: determinare scenari estremi per la distribuzione

23. Simulazione storica classica • Rivalutazione del portafoglio su dati storici • ogni insieme di dati storici rappresenta un possibile scenario di mercato • Calcolo dei profitti e perdite del portafoglio sotto ogni scenario • Ordinamento degli scenari per dimensione della perdita • istogramma che rappresenta la distribuzione empirica di profitti e perdite • Calcolo del percentile empirico. • Es. su 100 dati il peggiore rappresenta il VaR all’1%.

24. L’istogramma FIAT

25. Simulazione storica classica • Problemi • I dati possono non essere identicamente e indipendentemente distribuiti (i.i.d.) • In particolare, la distribuzione dei rendimenti futuri può variare al variare delle condizioni di mercato • Periodi di alta e bassa volatilità possono essere raggruppati (volatility clustering) • Effetti • Sotto o sopravvalutazione del VaR.

26. Autocorrelazione della volatilità

27. Simulazione storica filtrataBarone-Adesi e Giannopoulos • Barone-Adesi e Giannopoulos hanno proposto una modifica dell’algoritmo di simulazione storica basato sul filtraggio preventivo dei dati. • Simulazione storica filtrata • Rivalutazione del portafoglio su dati storici • Stima di un modello Garch su tale serie • Utilizzo delle stime per filtrare i dati • Utilizzo di tecniche bootstrap per simulare l’evoluzione dei rendimenti e della volatilità

28. Simulazione storica filtrata:l’algoritmo • Step 1. Rivalutazione del portafoglio sulla base di dati storici, e calcolo di profitti e perdite in ogni scenario • Step 2. Specificazione e stima di un modello Garch, ad es.

29. Filtraggio dei dati • Step 3. Calcolare e salvare la serie storica dei residui t, per t = 0, 1, …,T • Step 4. Calcolare e salvare la serie storica delle volatilità t, per t = 1, …,T + 1 • Step 5. Calcolo della serie storica dei residui filtrati zt = t / t per t = 1, …,T

30. L’algoritmo bootstrap… • Step 6. Estrarre n residui filtrati dalla serie storica zt = z(1), z(2), …,z(n) • n è il numero di giorni che rappresenta il periodo di smobilizzo • Step 7. Porre il rendimento simulato al tempo T + 1 uguale a RT+1 = z(1) T+1 = T+1 • Step 8. Calcolo della volatilità T+2.

31. …prima iterazione • Step 9. Ripetere gli step 7 e 8 calcolando RT+i = z(i) T+i = T+i per i = 2, …,n – 1 • Step 10. Calcolare e salvare RT+n = z(n) T+n= T+n RT+1 +RT+2 + … +RT+i … +RT+n

32. …ripetere NITER volte • Step 11. Ripetere gli step dal 6 al 10 un numero NITER (es. 1000) di iterazioni. • Step 12. Ordinare gli scenari per dimensione della perdita (istogramma) • Step 13. Calcolare il percentile empirico dell’istogramma • Es. nel caso di 1000 iterazioni scegliere il valore decimo peggiore per un percentile dell’1%, il 50 peggiore per il 5%...

33. Applicazioni • Con questa metodologia sono determinati margini alla London Clearing House • Recentemente, in un lavoro Barone-Adesi, Engle e Mancini, la metodologia è stata applicata alla valutazione di opzioni. • In questo caso si utilizza l’algoritmo sopra descritto utilizzando per n i giorni mancanti all’esercizio.