Analisi e Gestione del Rischio

1. Analisi e Gestione del Rischio Lezione 10 Rischio di prodotti strutturati VaR ed Expected Shortfall

2. Analisi del rischio di prodotti strutturati • Analisi dei pay-off • Definizione del portafoglio di replica • Analisi dei fattori di rischio presenti nel prodotto. • Analisi della sensitività ai fattori di rischio • Definizione dei fattori di rischio principali • Comunicazione dei fattori di rischio all’investitore.

3. Analisi dei pay-off: richiami • L’analisi dei pay-off deve distinguere: • Il piano di rimborso • Il piano cedole • E’ importante appurare se e in quali scenari il capitale impiegato nell’investimento viene perso, in quale misura massima e minima. • E’ importante appurare se la durata dell’investimento è definita o può variare in funzione di eventi esterni o decisioni dell’investitore o dell’emittente. • E’ importante definire se le cedole sono fisse o variabili e in quale intervallo possono variare.

4. Portafoglio di replica: richiami • Si individuano i prodotti derivati presenti nella struttura. • In generale, utilizzeremo le scomposizioni, che derivano dalla parità put-call, introdotte nella lezione 2: Max(y,k) = k + max(y – k, 0) = y + max(k – y, 0) Min(y,k) = k – max(k – y, 0) = y – max(y – k, 0)

5. Analisi dei fattori di rischio • Vengono passati in rassegna i fattori di rischio presenti nella struttura. • Rischio di tasso d’interesse, legato ai movimenti della struttura dei tassi privi di rischio • Rischio emittente: legato alla dinamica degli spread di credito dell’emittente • Rischio sottostante: legato alla dinamica dei titoli sottostanti i contratti derivati che fanno parte del portafoglio di replica • Rischio opzione: legato a prodotti derivati non lineari che sono presenti nel portafoglio di replica.

6. Analisi della sensitività ai fattori di rischio • La sensitività al rischio di tasso è misurata da duration e convexity rispetto alla curva risk-free (o da modelli più complessi di bucket hedging) • La sensitività al rischio emittente è misurata da duration e convexity della curva dell’emittente. • La sensitività al sottostante è misurato dal delta e dei derivati presenti nella struttura • La sensitività al rischio opzione è misurata dal gamma e vega delle opzioni presenti nella struttura (sensitività a cambi di volatilità e correlazione.

7. Definizione dei fattori di rischio principali • Nella comunicazione al pubblico è importante focalizzare i fattori di rischio principali ed esporli in modo da attrarre l’attenzione su quelli maggiori. • Per questo motivo in fase di analisi si stabilisce una sorta di “gerarchia dei rischi” al fine di esporli in ordine di rilevanza decrescente. • La definizione di tale gerarchia è in genere basata su due considerazioni: i) l’individuazione dei

8. Comunicazione dei fattori di rischio all’investitore • La comunicazione deve essere sintetica e focalizzata sui fattori di rischio principali. • Deve essere completa per quanto riguarda la definizione dell’anagrafica del titolo. • Per l’investitore non sofisticato non viene utilizzata la descrizione del portafoglio di replica, ma viene fornita una descrizione dei principali effetti che emergono dalla scomposizione e vengono elencati i rischi in ordine decrescente.

9. Protected Equity Certificate Abn Amro

10. Protection Bull • Sottostante iniziale = 4200 • Valore Nominale = 1 • Protezione del Capitale (protection) = 0,9 • Tasso di Partecipazione 1 (part1)= 1 • Tasso di Partecipazione 2 (part2) = 1,1 • Rendimento massimo (cap) = NA

11. Descrizione del prodotto • Il valore finale è definito come il rapporto tra il valore del sottostante a scadenza sul valore del sottostante iniziale: VF = Sottostante (T) /Sottostante(0) • Il pay-off è riferito all’ammontare nominale VN • Il fine del prodotto, da prospetto informativo è di “avvantaggiarsi di eventuali rialzi del Sottostante, proteggendosi da eventuali ribassi del Sottostante”.

12. Pay-off a scadenza • Secondo il prospetto, se alla scadenza abbiamo VF > 1 l’investitore riceve: VN[Protection + Part1*(1 – Protection) + Part2*(VF – 1)] • Se alla scadenza Protection < VF < 1 l’investitore percepisce: VN[Protection + Part1*(VF – 1)] • Se infine VF < Protection l’investitore ottiene VN[Protection]

13. Piano di rimborso…

14. …più cedola

15. “Lo strano caso” part1 < 1

16. Informazione al pubblico (Bull) • Il titolo Protection Bull è composto di un piano cedole e di rimborso del capitale come segue • La cedola è legata alla performance di un indice di borsa, e paga alla scadenza l’apprezzamento dell’indice moltiplicato per una percentuale. Paga zero in caso contrario • Il rimborso del capitale NON è garantito. La perdita di capitale massima è 1 meno il livello di protezione e si verifica quando l’indice di borsa alla scadenza ha fatto registrare una perdita di ammontare corrispondente. • Per certi valori dei parametri (partecipazione 1 e protezione entrambi minori di 1) il capitale NON verrà restituito integralmente in nessun caso.

17. Portafoglio di replica (Bull) • Il Protection Bull certificate è così composto: • Cedola: Lungo opzioni call sul sottostante con strike pari a 1, per un ammontare pari al nominale per il tasso di partecipazione 2. • Rimborso: • Lungo titolo privo di rischio per un valore nominale pari alla percentuale di protezione per il valore nominale. • Lungo call spread con strike pari al livello di protezione e 1, per un ammontare pari al nominale per il tasso di partecipazione 1.

18. Cap Protection Bull • Sottostante iniziale = 4200 • Valore Nominale = 1 • Protezione del Capitale (protection) = 0,9 • Tasso di Partecipazione 1 (part1)= 1 • Tasso di Partecipazione 2 (part2) = 1,4 • Rendimento massimo (cap) = 1,3

19. Definizione del cap • Vogliamo una posizione corta in part2opzioni call, con strike K tale che nel caso VF > K, abbiamo Protection + Part1*(1 – Protection) + Part2*(VF – 1) – Part2(VF – K) = Cap K = 1 + [Cap – Protection – – Part1*(1 – protection)]/Part2

20. Considerazioni sulla trasparenza • Si noti che il modo in cui è presentato il cap risente della confusione che viene fatta tra piano cedole e piano di rimborso. • Dire che il rendimento massimo è limitato al 30%, per esempio, non significa che il titolo consente di partecipare a rialzi del mercato fino al 30%. Nell’ipotesi in cui il tasso di protezione è 90% e il tasso di partecipazione 1 è pari a 1, e il tasso di partecipazione 2 è pari a 140%, la cedola partecipa all’apprezzamento del sottostante fino al 21,43%.

21. Capped Bull Protection

22. Sensitività • Il titolo Protection Bull sarà lungo del sottostante. La cedola è infatti rappresentata da un’opzione call che è lunga nel sottostante e il derivato presente nel piano di rimborso è un call spread, anch’esso lungo nel sottostante. • Anche il titolo capped sarà lungo nel sottostante: si tratta infatti della somma di due call spread. • Per quanto riguarda la sensitività alla volatilità, il segno è incerto e dipende dalla distanza tra gli strike price dei call spread.

23. Sensitività al sottostante

24. Sensitività alla volatilità

25. Critiche al Value-at-Risk • La problematica delle misure coerenti di rischio (approccio assiomatico alle misure di rischio) • Tecniche alternative (o complementari): expected shorfall, stress testing. • Il rischio di liquidità

26. Misure coerenti di rischio • Nel 1999 Artzner, Delbaen e Eber e Heath affrontarono il seguente problema • “Che caratteristiche deve avere una misura di rischio per essere ben definita?” • Assiomi di una misura di rischio • ·  Positive homogeneity: (X) = (X) • · Translation invariance: (X + ) = (X) –  • · Subadditivity: (X1+ X2) (X1) + (X2)

27. Nuove misureexpected shortfall • Il Value-at-Risk rappresenta un percentile corrispondente ad un livello di probabilità. • Critiche: • Il VaR non fornisce nessuna informazione sulla forma della distribuzione nella coda. • Il VaR di due business può essere super-additivo (unendo due business, il VaR può aumentare • In generale, il problema di ottimizzazione di un portafoglio con vincolo di VaR è complesso.

28. Expected shortfall • L’expected shortfall è la perdita media oltre il VaR. In comune con il VaR ha il fatto che è riferito alla distribuzione di probabilità delle perdite. • Consideriamo una posizione X, l’expected shortfall è definito come ES = E(X: X VaR)

29. Expected shortfall: pro e contro • Vantaggi: i) è una misura della forma della coda della distribuzione: ii) è sub-additiva, iii) è di facile utilizzo per ottimizzazioni di portafoglio • Svantaggio: non fornisce informazione sul fatto che la fusione di due business può aumentare la probabilità di default.

30. Put protettiva… • L’ammontare di capitale da accantonare per il rischio di una posizione X può essere visto come una posizione put. • Assumiamo infatti di avere una posizione rischiosa X e di acquistare un’opzione put. Ricordiamo dalla parità put-call • X + put(X,t: K, T) = E(max(X(T), K)) • Quindi • E(max(X(T), K)) – X(t) = put(X,t: K, T)

31. …ed expected shortfall • La put protettiva può essere vista come una misura di expected shortfall. • Infatti definiamo: • Lo strike K la misura di VaR • La scadenza T il tempo di smobilizzo • Allora possiamo scrivere put(X, t: VaR, T)= E(X(T)  VaR) • N.B. Nell’interpretazione finanziaria comunque il valore atteso è calcolato sotto la misura aggiustata per il rischio Q.