DINAMIKA ROTASI

1. DINAMIKA ROTASI

2. Topik Hari Ini • Kinematika Rotasi v.s. Linier (translasi) • Dinamika Rotasi dan torka (torque) • Usaha dan energi • Momentum Angular • Menggelinding

3. Rotational v.s. Linear Kinematics Angular Linear Untuk suatu titik pada jarak R dari sumbu rotasi: • x = Rv = Ra = R

4. Ingat bahwa  = - 0.5 rad/s2.  Contoh: • Sebuah roda berputar dengan kecepatan angular awal 0 = 500 rad/s. Pada t = 0 ia mulai melambat dengan laju 0.5 rad/s2. Berapa lama waktu yang diperlukan untuk berhenti?  • Pakai untuk memperoleh • t pada  = 0 : • Sehingga

5. ^ r ^ ^   Dinamika Rotasi dan TorkaWhat makes it spin? • Andaikan bahwa gaya yang beraksi pada suatu massa dibatasi untuk bergerak melingkar. Tinjau percepatan dalam arah pada suatu saat tertentu : a = r • Gunakan Hk-II Newton dalam arah : F=ma = mr rF=mr2 F ^ F a m • Kalikan dengan r : r 

6. ^ r ^  Dinamika Rotasi dan Torka …What makes it spin? rF=mr2 gunakan • Definisikan torque (torka) : = rF.  adalah gaya tangensialFdikalikan dengan lengan gayar. • Torka memiliki arah: +zuntuk membuat sistem berputarberlawanan arah jarum jam. - z untuk membuat sistem berputarsearah arah jarum jam. F F a m r 

7. Karena partikel-partikel terhubung secara tegar,mereka memiliki percepatan yang sama . Dinamika Rotasi dan Torka …What makes it spin? • Sehingga untuk kumpulan banyak yg tersusun dalam konfigurasi yg tegar: i I m4 F1 F4 m1 r1  r4 m3 r2 r3 m2 F2 F3

8. Dinamika Rotasi dan Torka … What makes it spin?  NET=I • Ini adalah analogi rotasi untuk Hukum II Newton FNET = ma • Torka merpakan analogi rotasi untuk gaya : The amount of “twist” provided by a force. • Moment inersiaImerupakan analogi untuk massa. Jika I lebih besar, lebih besar torka yg diperlukan untuk memperoleh percepatan angular tertentu. • Satuan Torka kg m2/s2 = (kg m/s2) m = Nm.

9. Usaha • Tinjau usaha oleh gaya F yang beraksi pada suatu massa dibatasi untuk bergerak mengitari suatu sumbu tetap . Untuk perpindahan kecil sekali d: • dW = F.dr= FR d cos() = FR d cos(90-) = FR d sin() = FR sin() d  dW =  d • Integrasikan: W =  • Analogi dengan W= F•r • W akan negatif jika  dan  mempunyai arah berlawanan!  F  R dr = R d d axis

10. Usaha & Energi Kinetik • Ingat Teorema Usaha / Energi Kinetic : K = WNET • Ini benar secara umum, dan dapat diaplikasikan pada gerak rotasi sebagaimana halnya gerak translasi. • Sehingga untuk suatu benda yang berputar terhadap suatu sumbu tetap:

11. Daya Rotasi Usaha yang dilakukan oleh suatu torka  yang menyebabkan perpindahan  diberikan oleh: Sehingga Daya (P) yang diberikan oleh suatu torka konstan adalah:

12. M R F Contoh 1: Piringan & Tali • Sebuah tali tak bermassa dililitkan 10 kalipada sebuah piringan dengan massa M = 40 g dan jari-jari R = 10 cm. Piringan ini berotasi tanpa gesekan terhadap suatu sumbu tetap yang melalui pusatnya. Tali ditarik dengan gaya F = 10 N sampai lepas semuanya dari piringan. (Asumsikan tali tidak slip, dan pada awalnya piringan tidak berputar). • Seberapa cepat piringan berputar setelah tali lepas?

13. M R F Piringan & Tali... • Kerja yang dilakukan adalah W =  • Torka == RF (since = 90o) • Perpindahan angular  adalah 2 rad/rev x 10 rev. • Sehingga W = (.1 m)(10 N)(20rad) = 62.8 J  

14. IngatI untuk piringan terhadap sumbu pusanya diberikan oleh: sehingga = 792.5 rad/s Piringan & Tali... WNET = W = 62.8 J = K M R 

15. Momentum Angular (Momentum Sudut) Tool penting yang lain untuk menyelesaikan persoalan adalah Kekekalan Momentum. Kita telah mengenal: p = mvdan F = dp/dt. (1) Jika kita kalikan kedua sisi dari (1) dengan jari-jari r, diperoleh (dengan v = wr): t = r F = r  dp/dt = d(r  p)/dt = dL/dt Dimana L = r p, didefinisikan sebagai Momentum Sudut.

16. Kekekalan Momentum Sudut St = dL/dt Sama seperti F = dp/dt yang mengarah kepada kekekalan momentum jika tidak ada gaya luar, maka St = dL/dtmengarah kepada kekekalan momentumangular jika tidak ada torka luar. Ingat: p = mv, dan L = r  p = r  mv = r m vq = r m wr = mr2w = Iw

17. Contoh 2: Katrol dan Benda Jatuh • Sebuah massa m yang dililitkan dengan tali pada sebuah katrol dengan jari-jari R yang menempel pada suatu roda yang berat. Momen Inersia dari katrol + roda adalah I. Tali tidak slip terhadap katrol. Mulai dari saat diam, hitung berapa lama waktu yang diperlukan oleh massa untuk jatuh sejauh L. I  R T m mg a L

18. Katrol dan Benda Jatuh... • Untuk massa yang bergantung: F = ma mg - T = ma • Untuk katrol + roda: =I = TR = I • Gunakan: a = R • Sekarang hitung a dari persamaan di atas: I  R T m mg a L

19. Katrol dan Benda Jatuh... • Gunakan kinematika1-D , kita dapat menghitung waktu yang diperlukan oleh massa untuk jatuh sejauh L: I  R T m dimana mg a L

20. Rotasi di sekitar sumbu yang bergerak • Tali dililitkan pada suatu piringan dengan massa M dan jari-jari R. Piringan mula-mula diam pada permukaan horisontal yang licin. Tali ditarik dengan gaya F dan tidak slip. • Tentukan panjang tali L yang terlepas setelah bergerak sejauh D? M R F Top view

21. Jarak yg ditempuh pusat massa : • Sehingga perpindahan angular: Rotasi di sekitar sumbu yang bergerak... • Pusat massa bergerak mengikutiF= MA • Piringan akan berputar • terhadap CM mengikuti =I M A  R F

22. Rotasi di sekitar sumbu yang bergerak... • Kita tahu jarak yang ditempuh CM dan sudut rotasi terhadap CM sebagai fungsi waktu: (a) (b) Panjang tali yg telah ditarik adalah L = R: Bagi (b) dengan (a):  F F D L

23. M A  R F Comments on CM acceleration: We just used =I for rotation about an axis through the CM even though the CM was accelerating! The CM is not an inertial reference frame! Is this OK??(After all, we can only use F = ma in an inertial reference frame). YES! We can always write =Ifor an axis through the CM. This is true even if the CM is accelerating. We will prove this when we discuss angular momentum!

24. Menggelinding (Rolling) • Suatu benda dengan massa M, jari-jari R, dan momen inersia I berputar ke bawah tanpa slip pada bidang miring dengan kemiringan  terhadap bidang datar. Hitung percepatannya? • SARAN: Tinjau gerak pusat massa dan rotasi terhadap pusat masaa secara terpisah ketika menyelesaikan persoalan ini I M R 

25. Menggelinding… Gesekan static f menyebabkan menggelinding Ada dua kasus menggelinding: 1. Menggelinding tanpa tergelincir (menggelinding murni) • 2. Menggelinding dan tergelincir secara serempak

26. y x Menggelinding... • Gesekan static f menyebabkan menggelinding. Besaran ini tidak diketahui, harus diselesaikan. • Pertama-tama tinjau dulu diagram benda bebas dari benda dan gunakan FNET = MaCM : Dalam arah x : Mg sin- f = Ma • Sekarang tinjau rotasi terhadap pusat massa CM dan gunakan =I = Rf dana = R M f R Mg 

27. Menggelinding... • Kita punya dua persamaan: • Eliminasi untukf: I A M R Untuk bola: 

28. Contoh 3: Dua silinder menggelinding Dua bua silinder homogen terbuat dari aluminium. Silinder yang satu memiliki jari-jari dua kali yang lainnya. Jika keduanya diletakkan pada puncak bidang miring yang sama dan dilepaskan, mana yang paling cepat sampai di bawah? (a) Yang besar (b) Yang kecil (c) sama

29. - DU = DK Konservasi energi: tetapi dan Contoh 3: Dua silinder menggelinding .. • Tinjau salah satu. Katakan jejari R, massa M dan jatuh dari ketinggian H. H

30. Contoh 3: Dua silinder menggelinding… Sehingga: Jawab, (c) tidak bergantung pada ukuran, Selama bentuknya sama!! H

31. Menggelincir untuk menggelinding Sebuah bola bowling bermassa M dan jejari R dipukul dengan kecepatan awal v0. Mula-mula tidak berputar. Setelah menggelincir dengan gesekan kinetik sejauh jarak D, bola akhirnya berputar tanpa slip dan mempunyai kecepatan baru vf. Koefisien gesekan kinetik antara bola dan bidang adalah . Hitung kecepatan akhir, vf, dari bola!  vf= R v0 f = Mg D

32. (b) Menggelincir untuk menggelinding... • Selama tergelincir, gaya gesekan akan mempercepat bola dalam arah (-x) : F = -Mg = Ma sehingga a = -g • Laju bola menjadi v = v0 - gt (a) • Gesekan juga memberikan torka terhadap pusat massa bola.Gunakan =I dan ingat bahwa I = 2/5MR2untuk bola pejal terhadap sumbu yang melalui pusat massa:  v f= R x v0 f = Mg D

33. Menggelincir untuk menggelinding... (a) (b) • Kita punya 2 persamaan: • Pakai (b) untuk menghitung t sebagai fungsi  • Substitusi ke (a) dan gunakan vf = R (kondisi menggelinding tanpa slip): Tidak bergantung pada , M, g!!  x vf= R v0 f = Mg D

34. Pesawat Atwood dengan katrol bermassa y • Suatu pasangan massa digantung pada sebuah katrol massif ( bermassa) seperti pada gambar. Hitung percepatan dari pasangan massa. x M • Untuk massa yg digantung: F = ma -m1g + T1 = -m1a -m2g + T2 = m2a  R T2 T1 a • Untuk katrol =I • T1R - T2R m2 m1 a m2g (Karena untuk piringan) m1g

35. Atwoods Machine dengan katrol bermassa... y • Kita punya 3 persamaan dengan 3 yang tidak diketahui (T1, T2, a). Selesaikan untuk a. -m1g + T1 = -m1a (1) -m2g + T2 = m2a (2) T1 - T2 (3) x M  R T2 T1 a m2 m2 m1 m1 a m2g m1g

36. Review Persamaan Gerak Rotasi Pada prinsipnya kita gantiF dengan t, m dengan I, v dengan w, a dengan a, danp dengan L (dimana L adala momentum angular): S F = ma S t = Ia Work = = F  ds Work = t  dq Power = F  v Power = t w KE = (1/2)mv2 KErotation = (1/2)Iw2 p = mv L = Iw S F = Dp/DtS t = DL/Dt .