Ch5 Control Charts for Variables

1. Ch5 Control Charts for Variables • C.C. for process average（mean quality）： • C.C. for process variability（dispersion）： （更一般化）. S chart；R chart • Variable：numerical measurement • A single measurable quality characteristic, such as a • dimension, weight, or volume, is called a variable.

2. Process mean及Process variability必須同時control. • (a) Mean and standard deviation at nomial levels.

3. Process mean is out of control： High fraction of nonconforming product. High process fill out. • Process variability is out of control：

4. 假設quality characteristic is normally distributed with • mean and standard deviation . If is a sample • of sizen, then the average of this sample is Statistical Basis of the Charts 當X 不是Normal，但n 夠大時，上述之C.L.亦可使用。

5. Center line • 若 與 未知時 其中 每一個都是average of n obs. is called the 從Range估計 Range of （sample of size n） （sample size n 的函數，查 （適用於 ） 其中 relative range. App. VI）

6. 與 的相對效率 n Relative Efficiency 2 3 4 5 6 10 1.000 0.992 0.975 0.955 0.930 0.850 For moderate value of n, say , the range loses efficiency rapidly, as it ignores all the information in the sample between and . 隨n增大而遞減 結論：exhibit in control.

7. 令 C.C. for process mean C.C. for process mean

8. 為n的函數（查 • 中央線 再以 估 C.C. for range 其中 R chart的建法 App. VI）

9. 。Process variability  in control 。Process mean  in control 結論：Since both and R charts exhibit control, we would conclude that the process is in control at the stated levels and adopt the trial control limits for use in on-line statistical process control. Example 1： 25個samples，每個n=5（見附表） （見附圖） （見附圖）

10. Specification Process capability的基本定義 Estimating Process Capability 如何評估製造過程的Capability（能力） • 假設活塞環的specification limits是74 ±0.05mm， • 則在上述例子中製造不良活塞環的比率為 • PCR（process capability ratio）：另一個評估capability的指標

11. 一般 為未知，以 估計，上述中 或計算 此process的natural tolerance limits佔據 specification band的60% 表示此製造過程的natural tolerance limits是完全落在 USL及LSL之間。

12. PCR = 1 若在normal假設下，則此process製造出不良品的比率 為0.27%，即2700PPM。 • PCR > 1

13. PCR < 1 大量的不良品被製造。

14. Revision of Control Limits and Center Lines （定期的修正C.L.及Center Lines） 例如：每週、每月或每25、50或100個樣本。 • 若R chart顯示in control且process mean僅受單純的variable控制，則可將center line調到target value，但若process mean是被更複雜的variables所控制，則不適宜做此調整。 • 若R chart顯示out of control，則eliminate那些點再重新計算center line和control limit。

15. 活塞環的製造，繼續使用 及R chart. • 如下表及附圖。 • 同時可使用tolerance chart（或稱tier diagram）。 • 當n≧7 or 8時，則可使用Box plot.

16. CL 、SL及NTL： CL 與SL兩者之間不存在任何數學關係。 • CL是由process的natural variability（即NTL）所決定。 • SP則是由management、engineer、customers…決定 • （即過程外的因素所決定）。 • Control chart使用CL。 • Tolerance chart可用specification limits。

17. 及R chart rational subgroup的選法 1. 對 chart而言  監測process meanbetween sample Sample 1 Sample 2 … Maximize the chance for shifts in 錯誤的估計法！將使S變得太大 且combines了between及within sample的variability. 2. 對R chart而言  監測process variabilitywithin sample 使得variability within samples只測量chance 或random causes

18. 樣本大小 CL的寬度 取樣的頻率 設計C.C.的準則 • CC的統計性質 • 經濟的考量：cost of sampling, costs of investigating • and possibly correcting the process in response to out • of control signals, costs associated with producing a • product that does not meet specifications.

19. chart若要detect中、大的shift，則n=4、5， • 若要detect小的shift，則n=15、25。 • R chart在n小時，對shift相當insensitive。 • （e.g. n=5，則detect從 到的機率僅有0.4。） • 但n大時（n≧10），則不宜採用R chart，應採用S或 • chart。 • small n 可避免shift發生在一個sample之中。

20. CL通常取 ，若Type I error甚嚴重，可改採 ，或需 • 在短時間內detect出out of control，則可採用 。 • 取樣頻率：small, frequent or larger samples less frequently， • 目前工業界較偏向於small, frequent的取樣法。 • 取樣頻率可由rate of production決定。

21. 及R chart中n為變數時 • 採用 及S chart（∵R chart的center亦隨時改變）。 • 從某一個時間後開始改變sample size從 。 new

22. 但 與 皆是估計 ，∴若 沒改變

23. new

24. ：n↓，CL的寬度↑ ：n↓，center line↓及UCL↓ Example 2：活塞環的製造 由於process exhibits good control （見附圖） （見附圖）

25. Probability Limits on the and R Chart • chart（Normal假設下）： • e.g. 2. R chart：由 的percentage points決定。 e.g. If , the 0.001 and 0.999 percentage points of the distribution of the relative range W are required. Noting these points by and 當3≦n≦6，有正的LCL （即由檢定的Type I level所決定的control limit：UK或西歐國家）

26. Charts Based on Standard Values 其中

27. In processes where the mean of the quality • characteristic is controlled by adjustments • to the machine, standard or target values of • are sometimes helpful in achieving • management goals with respect to process • performance. • 使用標準值時，需注意out of control的意義！

28. Interpretation of and R charts • 在解釋 chart上的pattern前，需先檢測R chart是否 • in control？先消去R chart中的assignable causes，再 • 來看 chart. 可能原因： chart：溫度、工作疲乏、 人員或機器輪流、 電壓變動… R chart：maintenance schedules、工作疲乏、工具磨損… e.g.金屬容盤的容量具有systematic的variability，是由於在 filling machine中的compressor開關的週期所造成。 Case 1 Cycles

29. Case 2 Mixture pattern 可能原因： 是由兩個有overlapping 的分佈來製造此過程的 成品，overlap愈少，此 現象就愈明顯。有時是由於overcontrol所造成。 Case 3 Shift in process level 可能原因： 新進人員、新方法、新 原料、新機器、採用新 的檢測法或標準，改變 skill、目標、或員工的motivations。

30. 可能原因： CL計算錯誤或是 太大，即每次取樣是由數個population 取出，亦即 是測量between population的variability，而不 是within population的variability。 Case 4 Trend 可能原因： tool的持續惡化，operator fatigue、presence of supervisor（或其他的 critical process component）、或分開或合併化學製造過程 中混合物的元素或溫度…（迴歸的控制圖）。 Case 5 Stratification （點不自然的集中在中央 線附近，lack of natural variability！）

31. The effect of nonnormality on and R charts • 在Normal的假設下， 與R chart互相獨立，若否，則 • 表示Normality的假設不適合，即分佈可能是skewed！ • 當品質的特性的underlying分佈可由過去收集的大量資 • 料來統計，則可藉此計算其probability limit，進而建立 • CC，但在大部份的情況，underlying的分佈是不可知， • 則我們想了解CC對normality假設的robustness性質。

32. E.g. chart：uniform、 right triangular、 gamma（ ）n=4,5時 robustness 最差的情況：gamma（r=1/2,1（exponential）) （gamma ） R chart：即使當分佈是normal，R的分佈亦非對稱， 一般使用的 3-sigma limit，其 （當n=4），且R chart較 chart對normality的假設更 sensitive！

33. In control value 當 已知時， chart的O.C. curve 當 的 The Operating-Characteristic Function （如附圖） （在第k個sample（after the shift）才detect出shift的機率） （此即為幾何分佈的期望值）

34. In control value of the standard deviation 其中 ，查 的表 R chart的O.C. curve （如附圖） 利用O.C. curve來分析過去的資料，建議一般取20~25 subgroups來建立C.C. 。

35. The Average Run Length for the Chart 皆為幾何分佈的期望值 （如附圖） Average Time to Signal：ATS=ARL．k Expected number of individual units sampled： I=nARL （如附圖）

36. 1. The sample size n is moderately large, say n>10 or 12. （Recall that the range method for estimating loses statistical efficiency for moderate to large samples.） Control charts for and S 使用 及S charts。 當 2. The sample size n is variable.

37. 是 的unbiased estimator Construction and Operation of and S Charts S並非 的不偏估計量，但 ， 其中

38. 當standard value is given S chart 當 是未知，則以 ，估計 S chart

39. chart 注意： 若取 ， 則相對的 均隨著改變， 並改以 的符號來代表。

40. Example 3 活塞環的內半徑（如下表）

41. 與先前的 相似（如下圖） 與由 估計的值相近

42. The and S Control Charts with Variable Sample Size chart 當n是個變數時 其中 將由individual subgroup來決定 S chart

43. Example 4 活塞環內半徑n=3～n=5（如下表）

44. chart S chart 對第二個sample，n=3時， 的值亦隨之改變。 對第一個sample，n=5的C.L. （如附表與附圖）

45. 當n是變數時，另一個可行的方法是採用 • average sample size • （適用於 變化不大時或展示給 manager看時） • 亦利用最常出現的 值來估計 的值。 • e.g.在Example 4中， 共有17 個，為最常出現的 • 值，則 • used is for samples of size n=5.

46. The Control Chart （recommended by some practitioners）

47. 若無法給定standards，通常以20~25preliminary samples • 的資料來建立trial control limits，但m=20~25對某些過 • 程而言卻太大（如start up process）。若m（即sample數） • 取得太小，則造成 變大。 e.g. chart中， 即使當m=25時，亦比nominal value大。 解決方法為：Hillier（1969）Two stage approach 來建立C.L. for and R charts.使得不論m之值為何， 皆可有正確的 值可應用於 job-shop or short production run。 Control Limits Base on a Small Number of Samples （Short Production Runs）

48. Control Charts for Individual Measurements • 當n=1的例子 • 1. 自動化偵測每個產品。 • 2. 生產速度甚慢，不便取n>1。 • 3. 重覆測量的差異僅是由實驗或分析的錯誤所產生， • （e.g. 化學過程），即重覆測量是不需要的。 • 4. 例如在一捲紙中塗料的厚度，幾乎是處處相同， • 重覆取樣是不需要的，其所得的std. dev.亦會太小。

49. 可利用相鄰觀測值的moving range來估計process的 • variability，即 • 當要detect的shift很小時，則可採用Ch 7的cumulative • sum及exponential weighted moving-average C.C. 。

50. Example 5 • 飛機底漆的黏性是 • 一個重要的品質。 • 數個小時才能生產 • 一個batch的油漆， • 因此每次取樣僅能 • 取一個batch。