Properties of Continuous probability distributions

1. Properties of Continuous probability distributions 觀念 • 嚴格來說，因為測量的侷限，所有的變數皆為「非連續」discrete。 • 但當某一個變數的變量的數目很多，每一個變量出現的機率很低時，我們通常把它當作「連續」變數來處理。 • 例如：收入、所得、學校成績等。 社會統計（上）

2. Approximating a continuous distribution 觀念 • 取100人的樣本並紀錄其完成工作的時間如下： 社會統計（上）

3. Approximating a continuous distribution 觀念 • 以直方圖來表達： 社會統計（上）

4. Approximating a continuous distribution 觀念 • 將樣本擴大至1,000 社會統計（上）

5. Approximating a continuous distribution 觀念 • 將樣本擴大至10,000 社會統計（上）

6. Approximating a continuous distribution 觀念 • 將樣本擴大至100,000，隨著樣本數的增加，每一個變量之間的間隔愈小，曲線愈趨於平滑。 • 這個曲線可以被視為是根據母體（試驗重複很多次）的相對次數分配所畫出來的直方圖。 社會統計（上）

7. Density Function 觀念 • 若某一連續隨機變數X的機率分配可以用數學函數f(x)及其所對應的平滑的曲線表達，則f(x)為X的機率密度函數(density function)。 社會統計（上）

8. Density Function 定義 • 設X為一連續r.v.，若函數f(x)滿足下列條件: • 則稱f(x)為機率密度函數。 相當於間斷型隨機變數的加總符號Σ 社會統計（上）

9. Density Function 觀念 • 任何機率分配所有的“相對次數”的和為? 也就是說，曲線底下的面積和為1 社會統計（上）

10. Density Function 觀念 界於a與b之間曲線下的面積如何計算？ 步驟一，先將a至b的區間切割成n等分： x1 x2 a b 社會統計（上）

11. Density Function 觀念 第一塊長方形區域的面積為： f(x2) f(x1) 第二塊長方形區域的面積為： x1 x2 a b 社會統計（上）

12. Density Function 觀念 若將a至b之間的區間做更細的切割，則長方形的面積和將為愈來愈趨近於曲線下的面積。如將上圖的五等分再細分成十等分。 f(x1) x1 x2 a b 社會統計（上）

13. Density Function 觀念 若再進一步細分成n份，則 f(x1) 當n趨近於無限大時，則 a b 社會統計（上）

14. Density Function 定義 如果f在[a,b]的區間中為連續，且c,d介於a與b之間，則x介於c與d之間的機率為： a b c d 社會統計（上）

15. Density Function 定義 在連續隨機函數中，任意單獨變量所相對應的機率為 0。 a b 因為連續函數的變量x有無限個不同的值，任一特定變量a出現的機率等於1/∞ 社會統計（上）

16. Expected value 觀念 一非連續隨機變數(discrete r.v.)的變量為x1,x2,…xn，且每個變量的相對應的機率為p1,p2,…pn，則此隨機變數的期望值為： f(x1)=p1 x1 x2 a b 社會統計（上）

17. Expected value 觀念 將非連續隨機函數的期望值算法推演至連續隨機變數： f(x1) 先將a與b之間的區間分成n等分： x1 x2 a b n個區間的範圍分別為： 社會統計（上）

18. Expected value 觀念 p1為x落在[x0,x1]之間的機率，p2為x落在[x1,x2]區間的機率… P2=f(x2) P1 p2為函數f曲線介於x1與x2之下的面積 x1 x2 x0 b p1為函數f曲線介於xo與x1之下的面積 社會統計（上）

19. Expected value 觀念 P2=f(x2) P1 x1 x2 x0 b 社會統計（上）

20. Expected value 定義 當n趨於無限大，x趨近於0時： P2=f(x2) P1 x1 x2 x0 a b 社會統計（上）

21. Variance 定義 非連續變數的變異數： P2=f(x2) 連續變數的變異數： P1 x1 x2 x0 a b 社會統計（上）

22. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 定義 • Random variable x has the uniform distribution if its probability density function is defined by: • We say that x is uniformly distributed random variable or that x is uniformly distributed. 社會統計（上）

23. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 定義 • 若X為一連續r.v.，若其機率密度函數為： • 則稱X之機率分配為均勻分配，記做U(a, b) f(x) X a b 社會統計（上）

24. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 定義 • Let X be a uniform random variable defined over the interval [a,b] f(x) X a b 社會統計（上）

25. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 定義 • 若r.v. X介於a,b之間為均勻分配，c,d為介於a,b中的任意數，且a≦c ≦d ≦b • 則P(c ≦X ≦d)為介於c,d,之間的長方形面積，長方形的寬為(d - c)，高為1/(b - a) f(x) X c d a b 社會統計（上）

26. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 例題 • 例題：若r.v. X~U(a, b)，且E(X)=1, Var(X)=3/4，求P(X>0) 。「政大保研」 社會統計（上）

27. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 例題 • 例題：If X is uniformly distributed over (0,10), calculate the probability that (a) X <3 (b) X>6 (c) 3 < X< 8 f(x) X 0 3 6 8 10 社會統計（上）

28. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 例題 • 例題：262巴士從早上七點開始每隔15分鐘一班，到站時間為7:00, 7:15, 7:30, 7:45等。蘇老師每天早上在介於7點和7:30之間抵達車站，且蘇老師到站的時間為均勻分配，求蘇老師(a)等車少於五分鐘的機率(b)等車超過10分鐘的機率。 • 設蘇老師在早上七點X分到站，X～U(0,30) • 若蘇老師在7:10-7:15之間或7:25-7:30之間到站，則等車的時間將少於五分鐘。 f(x) X 7 7:15 7:30 社會統計（上）

29. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 例題 • (a)等車少於五分鐘的機率: f(x) X 7 7:15 7:30 社會統計（上）

30. Continuous Uniform Distribution連續型均勻分配 例題 • (b)等車時間超過十分鐘的機率: • 若蘇老師到站時間為7:00-7:05或7:15-7:20之間，則等車時間才有可能長過十分鐘。 f(x) X 7 7:15 7:30 社會統計（上）

31. 應用 • 一個活動範圍限定於[a, b]之間的海水浴場， 沙灘上有甲、乙兩個賣冰淇淋的小販要決定販賣的最佳位置。假設想吃冰淇淋的人的分佈為均勻分配，且行走距離為購買冰淇淋的唯一考量，請問甲、乙的最佳販售位置為？ f(x) X a b 社會統計（上）

32. 應用 • 如果甲乙分佔海灘的兩端，則市場被平均瓜分。 甲 乙 但如果甲向右邊移動，則他可以吸引到原先乙的部分顧客，且不會流失他原有的顧客。 f(x) a b 海灘中點 社會統計（上）

33. 應用 • 假設甲向右移動至新的位置，則藍色部分的顧客都成為甲的顧客。 甲 乙 f(x) 此時甲的行為會迫使乙向左邊逼近，以搶回被甲掠奪的顧客。 a b 海灘中點 社會統計（上）

34. 應用 • 最後的穩定均衡點為？ 甲 乙 f(x) a b 海灘中點 社會統計（上）

35. 應用 • 泛藍與泛綠在此次總統大選中要決定對中國的政策，可以在「統」與「獨」兩個極端中選擇適當位置，假設中間選民在統獨之間偏好為均勻分配，請問藍綠的最佳位置為？ 台獨 統一 泛藍 泛綠 社會統計（上）

36. Normal Distribution常態分配 定義 • A random variable X has the normal distribution if its probability density function is defined by: • We say that X is normally distributed with parameter μ and σ, denote X~N(μ, σ2) 社會統計（上）

37. 常態分配之重要性質 觀念 • The curve is bell shaped and symmetric about the value X=μ • The curve extends from -∞ to +∞ X=μ 社會統計（上）

38. 常態分配之重要性質 觀念 • The total area under the curve is 1. (this is required for all density function) • The curve is always above X-axis (f(x) ≧0, for all x) • μ=.Md=Mo X=μ 社會統計（上）

39. 常態分配之重要性質 觀念 • μ為位置參數，σ為形狀參數 不同μ，相同σ μ1 μ2 μ3 相同μ，不同σ μ 社會統計（上）

40. Page 265, Figure 6.2 社會統計（上）

41. 常態分配之重要性質 觀念 • μ為位置參數，σ為形狀參數 • 若X～N(μ, σ2)，令Y=aX + b，則Y~ N(aμ+b, a2σ2) • 若X～N(μ1, σ12) ，Y～N(μ2, σ22)，且X與Y獨立，則Z=X+Y之分配為Z～N(μ1＋μ2, σ12＋ σ22) 社會統計（上）

42. 標準常態分配Standard normal distribution 觀念 • A random variable is said to have the standard normal distribution if it has the normal distribution with mean μ=0 and σ2=1. Z~N(0, 1) σ=1 μ=0 社會統計（上）

43. Page 266, Figure 6.4 社會統計（上）

44. Normally distributed variables and Normal-Curve Areas • For a normally distributed variable, the percentage of all possible observations that lie within an specified range equals the corresponding area under its associated normal curve, expressed as a percentage. This result holds approximately for a variable that is approximately normally distributed. 社會統計（上）

45. Page 274, Figure 6.12 社會統計（上）

46. Page 276, Table 6.2 社會統計（上）

47. Page 291, Table 6.4 社會統計（上）

48. Page 291, Figure 6.23 社會統計（上）

49. Page 299, Figure 6.25 社會統計（上）

50. Page 300, Figure 6.27 社會統計（上）