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2. Newtonsche Mechanik

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2. Newtonsche Mechanik

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
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  1. z kartesische Koordinaten bewegter (Massen-)Punkt Ortsvektor y O x Bezugssystem (zeitlich fest oder variabel) 2. Newtonsche Mechanik 2.1. Kinematik Kinematik: Beschreibung von Bewegungsabläufen Dynamik: Lehre der Ursachen von Bewegungen (Kräfte, Massen) Bahnkurve

  2. oder äquivalent  Geschwindigkeit Beispiele: a) Geradlinige, gleichförmige Bewegung in der (x,y)-Ebene y O x

  3.   Winkelgeschwindigkeit b) Gleichförmige Kreisbewegung in der (x,y)-Ebene r y r t O x

  4. Tangente Def.:Momentangeschwindigkeit Def.:Mittlere Geschwindigkeit: Es gilt: Beweis:  Tafel 2.1.1. Geschwindigkeit O

  5. y O x Addition komponentenweise: y vv O x 2.1.2. Addition von Geschwindigkeiten Komponentenzerlegung:

  6. Def.:Momentanbeschleunigung 2.1.3. Beschleunigung O Def.:Mittlere Beschleunigung: Addition wie bei Geschwindigkeit (wie bei allen Vektoren)

  7. z h 0 Erdoberfläche Tafelrechnung  Fallzeit T:  Methode zur Messung von g 2.1.4. Einfache Bewegungsabläufe a) Freier Fall: Massenanziehung  Erdbeschleunigung g

  8. Tangetialbeschleunigung:  • Lösung wie im freien Fall  Gerutschte Strecke s(t): Laufzeit: b) Schiefe Ebene:

  9. y  H x O L • x(t)v0xt unabhängig von v0y • x(t)t , y(t)t2  y(x) ist Parabel Wurfweite Wurfhöhe Tafelrechnung  Hmax bei 90 c) Wurfparabel:  komponentenweise konstante Beschleunigung  wie freier Fall

  10. 2.2. Dynamik von Massenpunkten 2.2.1. Trägheit Trägheitsprinzip (Galilei):Ohne äußere Einflussnahme bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. 1. Newtonsches Axiom:Wirken keine äußeren Kräfte, bleibt die Geschwindigkeit eines Körpers konstant. • Voraussetzung: Koordinatensystem bewegt sich • unbeschleunigt Inertialsystem • unbeschleunigt gegen was? • Ruhesystem des Weltalls    der kosmischen Mikrowellen-Hintergrundstrahlung

  11. 2. Newtonsches Axiom (Aktionsprinzip):Wirkt auf einen Massenpunkt der (trägen) Masse m eine Kraft , so erfährt er eine Beschleunigung mit Bewegungsgleichung: Definition der Massen-Einheit:[m]1kg (Kilogramm) 1 kg ist definiert durch Normal (hier: Platin-Iridium-Zylinder, gelagert in Paris) • Definition der Kraft-Einheit:[F]1kgms21N (Newton) • 1 N ist die Kraft, die das Massen-Normal mit 1ms2 beschleunigt 2.2.2. Kräfte und Massen

  12. Federwaage entspannt belastet Kleine Auslenkung  Hookesches Gesetz D D x0 D  Federkonstante xx0 Eichmessung mit Massen-Normal: x m Kraftmessung Massenmessung (Eine) Messvorschrift für Kräfte und Massen:

  13. Bemerkungen: • Dichte: • Ausgedehnte homogene Körper: Volumen VMasse m Definition: Dichte: Beispiel: (H2O,4C,1bar)1000kgm3  1kgℓ 1ℓ  1Liter  1dm3

  14. Schwere Masse der Erde const. Trägheitskraft Gravitationskraft Träge Masse Schwere Masse Erdradius Experiment  ist unabhängig von mT (auf 1010) Folgerung: mS  mT  Festlegung:  Gravitationskonstante • Schwere Masse: Quelle des Gravitationsfeldes • z.B. freier Fall • Äquivalenzprinzip (allgemeine Relativitätstheorie): Trägheitskräfte und Gravitationskräfte sind in der Umgebung einer Testmasse prinzipiell ununterscheidbar

  15. Impuls: 2. Newtonsches Axiom (allgemein für mconst.): (relevant bei Systemen von Massenpunkten) • Addition von Kräften: • Kraft ist Vektor  übliche Vektoraddition

  16. Actio Reactio 3. Newtonsches Axiom (Reaktionsprinzip):Unterliegen zwei Massenpunkte keinen äußeren Kräften, so wird jede Kraftwirkung des einen Punktes auf den anderen durch eine gleichgroße Gegenkraft kompensiert.

  17. Statisches Kraftfeld: Häufig: Beispiele: a) Zentralkraftfeld Probemasse m Quell-Masse z.B. Erde Gravitationsfeld Kraftfeld M Analog: Elektrisches Feld Kraft  Feldlinien-Dichte Q: Quellladung q: Probeladung 2.2.3. Kraftfelder Zeitabhängige Kraft, die auf einen Massenpunkt mit einer bestimmten Geschwindigkeit irgendwo im Raum wirkt Kraftfeld:

  18.  c) Wirbelfeld ElektrischerStrom I Plattenkondensator Magnetisches Feld Draht q Kraftfeld Magnetisches Wirbelfeld b) Homogenes Kraftfeld

  19. d) Komplizierterer Fall: Magnetisches Wechselfeld  Kraftfeld für Testladung q mit Geschwindigkeit am Ort

  20. Fundamentale Kraftfelder: • Gravitation • Elektromagnetisch • Stark (Kernkraft) • Schwach (Radioaktivität)

  21. Kraftfeld B A 0 Def.: Bei Verschiebung aufgebrachte Leistung 2.2.4. Arbeit und Energie Def.: Bei Verschiebung verrichtete Arbeit  VomKraftfeld verrichtete Arbeit:

  22. Kraftfeld B A 0  Definition der kinetische EnergieT eines Massepunktes (manchmal alternative Benennung T  Ekin) Arbeit  Bewegung z.B. freie Bewegung im Kraftfeld: (Beweis: → Tafelrechnung)

  23. Def.: Kraftfeld konservativ es gibt Stammfunktion V: V heißt Potentialdes Feldes Kraftfeld B A 0 •  Potential V ( “” gilt nur für hinreichend glatte Felder in einfach zusammenhängenden Gebieten) • Es gilt (vgl. Theorie-VL): •  Potential VWA→B ist wegunabhängig

  24. Def.:Potentielle Energie eines Massenpunktes (bzgl. ) im konservativen Kraftfeld: skalares Feld  für Folgerung:in Äquipotentialfläche  Vconst.  V0  Def.:Äquipotentialflächen Flächen mit Vconst. • Feldlinien stehen senkrecht auf Äquipotentialflächen • Bewegung in Äquipotentialflächen  W0 • Verschiedene Äquipotentialflächen sind diskunkt

  25. Radialfeld Dipolfeld • • • Beispiele: Wirbelfeld hat kein Potential Äquipotentialfläche 2 V2 = V1-Δs·F • Beweis: 2 Äquipotentialflächen (V1V2) berühren sich nicht ! Δs·F Äquipotentialfläche 1 Potential V1 •

  26. z h Heben m 0 Beispiele für potentielle Energie: a) Heben von Lasten:  Tafelrechnung

  27. entspannt belastet Hookesches Gesetz D D D  Federkonstante 0 x x b) Potentielle Energie der Feder: Tafelrechnung 

  28. m Maximalhöhe (Umkehrpunkt) h x m D gestaucht D entspannt Experiment: Umwandlung der potentiellen Energie der Feder in die einer Masse im Schwerefeld

  29. 3. Axiom 2. Axiom Verallgemeinerung: Wirken in einem System von Massenpunkten keine äußeren Kräfte (abgeschlossenes System), gilt Impulserhaltung: 2.2.5. Erhaltungsgrößen a) Impulserhaltungssatz mP mQ P Q Bemerkung: Es ist irrelevant, ob die inneren Kräfte konservativ sind oder nicht!

  30. Folgerung: Schwerpunktimpuls Definition:Schwerpunkt Gesamtmasse Schwerpunktsatz:Für ein abgeschlossenes System ist der Schwerpunktimpuls konstant.

  31. Magnetische Abstoßung (äquiv. gestauchte Feder) -v v m m Faden Demo-Versuch: Luftkissenbahn  der Schwerpunkt bleibt in Ruhe!

  32. Munition, M   1 Kugel: dM v1 . . . . . . v2 Sand (masselos) M Sand + Munition Gedankenexperiment zum Schwerpunktsatz: Wie weit kann man mit diesem Rückstoßantrieb fahren? m  0 m  0 m  0 Massenschwerpunkt (zeitlich konstant)

  33. Verallgemeinerung:System von Massenpunkten → Verallgemeinerung:Nicht-konservative (dissipative) Kräfte (z.B. Reibung) führen zur Wärmebewegung (Energie Q) der Umgebung b) Energieerhaltungssatz Voraussetzung: konservatives Kraftfeld Tafelrechnung  für Massenpunkt Energiesatz der Mechanik: Bewegt sich ein Massenpunkt in einem konservativen Kraftfeld, ist die Energie (d.h. die Summe aus kinetischer und potentieller Energie) zeitlich konstant.

  34. z y m m mg h x R R Demo-Versuch: Looping • Idealisierende Anahmen: • Keine Reibung (dissipative Kraft) • Kugel rutscht (kein Rollen, keine Rollenergie)

  35. Zentripetal-beschleunigung Winkelgeschwindigkeit: Tafelrechnung  mit

  36. z m  mg h Tafelrechnung R Bedingung für Looping-Bewegung (oberster Punkt der Bahn): Schwerkraft  Zentripetal-kraft

  37. m1 θ1 m2 Streuwinkel Wechsel-wirkungs-gebiet θ2 2.2.5. Stoßgesetze • Konservative Kräfte: Elastischer Stoß Σ Ekin = const • Dissipative Kräfte: Unelastischer Stoß Σ Ekin nimmt ab • Innere Anregung: Superelastischer Stoß Σ Ekin kann zunehmen Billiard: Direkter Stoß des Laien  ziemlich elastisch Profistoß mit Drall  superelastisch

  38. e+ Detektor θ e- e+ 100 GeV θ 100 GeV e- Experimentelle Charakterisierung der Kraft beim Stoß: Beispiel: Elastische Streuung von Elementarteilchen 100 GeV  100 GigaVolt Beschleunigungsspannung

  39. e e Beispiel:

  40. Detektor e+ e- e+ 100 GeV 100 GeV γ e- Lichtquant (Photon) Gammastrahlung Beispiel: Unelastische Streuung von Elementarteilchen Typischer Detektor für Elektronen und Photonen: „Kalorimeter“ aus speziellen Kristallen Teilchenenergie  sichtbares Licht  Photosensor

  41. Beispiel:  e e

  42. m1 m2 Beispiel: total unelastischer Stoß Verformungsenergie Q ↗ m1 m2 m1m2 Impulserhaltung: (Stets gültig! Egal ob elastisch oder nicht)

  43. Schwerpunktsbewegung: L L L Aufheizung, Wärmeenergie Q Umkehr-punkt m1 v' v h d m2 Messe d Tafelrechnung Beispiel: Ballistisches Pendel

  44. θ1  6 Unbekannte Impulserhaltung  3 Gleichungen Energieerhaltung  1 Gleichung Streuwinkel 2-dimensionale Lösungsschar z.B. Parameter: 1 , 2 θ2 Elastischer Stoß:Q  0 Impulserhaltung... ...und zusätzlich Energieerhaltung

  45. Impulserhaltung im Schwerpunktsystem:  Energieerhaltung  Impulsübertrag: Spezialfall: Elastischer Stoß im Schwerpunktsystem Streuebene

  46. Schwerpunktgeschwindigkeit:  Folgerung: falls m1 m2  m1  m2 Anwendung: Neutronen-Abbremsung durch Moderator in Kernkraftwerken Spezialfall: Elastischer Stoß im Targetsystem oft ruhend im Labor  Laborsystem Streuebene

  47. entartete Streukreise 50% 50% Spezialfall:Targetsystem, m1 m2 Streuebene

  48. 100% Spezialfall:Targetsystem, m2   Streuebene Streuung in alle Richtungen

  49. 100% Spezialfall:Targetsystem, m1   Streuebene Vorwärtsstreuung

  50. keine Kräfte parallel zur Wand Folgerung:Reflexionsgesetz  Einfallswinkel   Ausfallswinkel   Elastischer Stoß gegen eine ruhende ebene Wand: