Download
bab iv limit dan kekontinuan fungsi n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI PowerPoint Presentation
Download Presentation
BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

1306 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. BAB IVLIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

  2. 4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:

  3. Contoh 4.1

  4. Contoh 4.2: 1. Buktikan bahwa • Buktikan bahwa Secara umum: dan

  5. 4.2. Fungsi Kontinu Definisi 4.2.1: AkibatDefinisi 4.2.1:

  6. Contoh: • f(x) = 3 – 4xadalahkontinu di setiaptitikcR. 2. kontinu di setiapcR 3. kontinudi (0 , ).

  7. Teorema 4.2.2: Teorema 4.2.3 f(x) kontinu dix = c jika dan hanya jika setiap (xn) yang konvergen ke c maka (f(xn)) konvergen ke f(c).

  8. Contoh 4.4:

  9. Teorema 4.2.4:

  10. Teorema 4.2.5:

  11. Teorema 4.2.6: Jikaf(x) kontinu dix = cdang(x) kontinu dix = c, makaf + g dan f – g, juga kontinu dic. Teorema 4.2.7: Jikakontinudicdankontinu dif(c), makakontinudic.

  12. Akibat Teorema 4.2.7: Jika f fungsi kontinu maka f  dan juga fungsi kontinu. Bukti:

  13. 4.3. Keterbatasan Fungsi Kontinu Keterbatasansuatufungsipadasuatu interval tidak menjaminkekontinuanfungsitersebut, dan Sebaliknya.Sebagaicontoh, fungsi: 1. f(x) = x2kontinudiR walaupun tdk trbatasdiR. • tidak terbatas dan tidak kontinu di [0,). 3. adalah terbatas tapi tidak kontinu di R. 4. f(x) = x2kontinudansekaligusterbatasdi [0 , 1] .

  14. Teorema 4.3.1: Jikaf(x) kontinu di c, maka ada > 0sehingga f(x) terbatas di . Teorema 4.3.2: Jikaf(x) kontinu dix = cdan g(x) kontinu dix = c, makaf. g danf/g dengansyarat g(c)  0 , juga kontinu dic.

  15. Definisi 4.3.3:

  16. Contoh: Fungsi kontinu kanan tapi tidak kontinu kiri pada setiap bilangan bulat x

  17. Contoh: Dalam hal ini f kontinu kanan di x = 0 tapi tidak kontinu kiri di x = 0. Fungsi f kontinu kanan di x = 0 dan juga kontinu kiri di x = 0 , sehingga f kontinu di setiap bilangan real x

  18. Akibat Definisi 4.3.3: f(x) adalahkontinu di intervaltutup [a, b] jika 1.fkontinu di (a, b) 2. f kontinu kanan di a 3. f kontinu kiri di b

  19. Teorema 4.3.4: Teorema 4.3.5: Jikaf(x) kontinu pada intervaltutup dan terbatas [a, b] , makaf(x) terbatas di [a, b].

  20. Akibat Teorema 4.3.5: Jikaf(x) kontinu di [a, b] , maka f(x) terbatas di [a, b], sehingga f(x) mempunyaisupremumdaninfimumdi[a, b].

  21. Contoh:

  22. Contoh: f(x) terbatas di [0 , 3] karena ada M = 6 sehingga

  23. Teorema 4.3.6(TeoremaNilai Rata-Rata Bolzano): Jikaf(x) kontinudi [a , b] danadabilangankRsehingga k terletakantaraf(a) danf(b), makaadac (a , b) sehinggaf(c) = k.

  24. Bukti: Definisikanfungsig(x) = f(x) – k , sehingga g(a) = f(a) – kdang(b) = f(b) – k . Karenaf(a) < k <f(b), makag(a) < 0 < g(b) . Selanjutnyakarenag(x) jugafungsi kontinu, makapastiadac (a , b)sehingga g(c) = 0. Artinyag(c) = f(c) – k = 0 , sehinggaf(c) = k.

  25. 4.4. KontinuSeragam Definisi 4.4.1: Catatan:  = () berarti  hanya tergantung pada  saja.

  26. Contoh : • f(x) = 5 – 4x kontinu seragam di R Namun demikian f(x) kontinu seragam di interval [0 , 4]

  27. Kriteria Tidak Kontinu Seragam Misalkan f : A R sebuah fungsi , maka pernyataan berikut adalah ekivalen: i. f tidak kontinu seragam di A.

  28. Contoh:

  29. Teorema 4.4.2: Jika f kontinu seragam di A maka f kontinu di setiap titik dalam A. Bukti: Jelas, dari definisi. ■ Teorema 4.4.3: Jika f kontinu pada interval tutup dan terbatas [a , b], maka f kontinu seragam pada [a , b].

  30. Definisi 4.4.4: Fungsif : A R disebut fungsiLipschitz ( atau memenuhi syarat Lipschitz)apabila terdapat sebuah konstanta K > 0 sehingga untuk semuax , uA .

  31. Contoh: f(x) = x2 adalah fungsi Lipschitz pada interval [0 , a] , karena ada K = 2a > 0 sehingga

  32. Teorema 4.4.5: Jika f :AR fungsiLipschitz, maka f kontinu seragam di A Bukti:

  33. Latihan:

  34. Latihan (lanjutan)