BAB IV LIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

1. BAB IVLIMIT DAN KEKONTINUAN FUNGSI

2. 4.1. Limit Fungsi Definisi 4.1.1:

3. Contoh 4.1

4. Contoh 4.2: 1. Buktikan bahwa • Buktikan bahwa Secara umum: dan

5. 4.2. Fungsi Kontinu Definisi 4.2.1: AkibatDefinisi 4.2.1:

6. Contoh: • f(x) = 3 – 4xadalahkontinu di setiaptitikcR. 2. kontinu di setiapcR 3. kontinudi (0 , ).

7. Teorema 4.2.2: Teorema 4.2.3 f(x) kontinu dix = c jika dan hanya jika setiap (xn) yang konvergen ke c maka (f(xn)) konvergen ke f(c).

8. Contoh 4.4:

10. Teorema 4.2.4:

11. Teorema 4.2.5:

12. Teorema 4.2.6: Jikaf(x) kontinu dix = cdang(x) kontinu dix = c, makaf + g dan f – g, juga kontinu dic. Teorema 4.2.7: Jikakontinudicdankontinu dif(c), makakontinudic.

13. Akibat Teorema 4.2.7: Jika f fungsi kontinu maka f  dan juga fungsi kontinu. Bukti:

14. 4.3. Keterbatasan Fungsi Kontinu Keterbatasansuatufungsipadasuatu interval tidak menjaminkekontinuanfungsitersebut, dan Sebaliknya.Sebagaicontoh, fungsi: 1. f(x) = x2kontinudiR walaupun tdk trbatasdiR. • tidak terbatas dan tidak kontinu di [0,). 3. adalah terbatas tapi tidak kontinu di R. 4. f(x) = x2kontinudansekaligusterbatasdi [0 , 1] .

15. Teorema 4.3.1: Jikaf(x) kontinu di c, maka ada > 0sehingga f(x) terbatas di . Teorema 4.3.2: Jikaf(x) kontinu dix = cdan g(x) kontinu dix = c, makaf. g danf/g dengansyarat g(c)  0 , juga kontinu dic.

16. Definisi 4.3.3:

17. Contoh: Fungsi kontinu kanan tapi tidak kontinu kiri pada setiap bilangan bulat x

18. Contoh: Dalam hal ini f kontinu kanan di x = 0 tapi tidak kontinu kiri di x = 0. Fungsi f kontinu kanan di x = 0 dan juga kontinu kiri di x = 0 , sehingga f kontinu di setiap bilangan real x

19. Akibat Definisi 4.3.3: f(x) adalahkontinu di intervaltutup [a, b] jika 1.fkontinu di (a, b) 2. f kontinu kanan di a 3. f kontinu kiri di b

20. Teorema 4.3.4: Teorema 4.3.5: Jikaf(x) kontinu pada intervaltutup dan terbatas [a, b] , makaf(x) terbatas di [a, b].

21. Akibat Teorema 4.3.5: Jikaf(x) kontinu di [a, b] , maka f(x) terbatas di [a, b], sehingga f(x) mempunyaisupremumdaninfimumdi[a, b].

22. Contoh:

23. Contoh: f(x) terbatas di [0 , 3] karena ada M = 6 sehingga

24. Teorema 4.3.6(TeoremaNilai Rata-Rata Bolzano): Jikaf(x) kontinudi [a , b] danadabilangankRsehingga k terletakantaraf(a) danf(b), makaadac (a , b) sehinggaf(c) = k.

25. Bukti: Definisikanfungsig(x) = f(x) – k , sehingga g(a) = f(a) – kdang(b) = f(b) – k . Karenaf(a) < k <f(b), makag(a) < 0 < g(b) . Selanjutnyakarenag(x) jugafungsi kontinu, makapastiadac (a , b)sehingga g(c) = 0. Artinyag(c) = f(c) – k = 0 , sehinggaf(c) = k.

26. 4.4. KontinuSeragam Definisi 4.4.1: Catatan:  = () berarti  hanya tergantung pada  saja.

28. Contoh : • f(x) = 5 – 4x kontinu seragam di R Namun demikian f(x) kontinu seragam di interval [0 , 4]

29. Kriteria Tidak Kontinu Seragam Misalkan f : A R sebuah fungsi , maka pernyataan berikut adalah ekivalen: i. f tidak kontinu seragam di A.

30. Contoh:

31. Teorema 4.4.2: Jika f kontinu seragam di A maka f kontinu di setiap titik dalam A. Bukti: Jelas, dari definisi. ■ Teorema 4.4.3: Jika f kontinu pada interval tutup dan terbatas [a , b], maka f kontinu seragam pada [a , b].

32. Definisi 4.4.4: Fungsif : A R disebut fungsiLipschitz ( atau memenuhi syarat Lipschitz)apabila terdapat sebuah konstanta K > 0 sehingga untuk semuax , uA .

33. Contoh: f(x) = x2 adalah fungsi Lipschitz pada interval [0 , a] , karena ada K = 2a > 0 sehingga

34. Teorema 4.4.5: Jika f :AR fungsiLipschitz, maka f kontinu seragam di A Bukti:

35. Latihan:

36. Latihan (lanjutan)