Download
slide1 n.
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN PowerPoint Presentation
Download Presentation
BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

323 Vues Download Presentation
Télécharger la présentation

BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript

  1. BAB IV LIMIT FUNGSI DAN KEKONTINUAN

  2. 4.1 Pendahuluan Sebelummambahas limit fungsidisuatutitik, terlebihdahulu kitaakanmengamatiperilakusuatufungsi f bilapeubahnya mendekatisuatubilanganril c tertentu. • Misalterdapatsuatufungsi f(x) = x + 4. • Untukmenentukanharga f bila x mendekatibilanganril • tertentu, misal 2, kitadapatmengamatinyadenganbantuan • tabeldanGambar 3.1

  3. y 0,0001 6,0001 6 5,9999 0,0001 x O 2 0,0001 0,0001 2,0001 1,9999 Gambar 4.1

  4. Dari TabelatauGambar4.1 dapatdilihatbahawauntuk x mendekati 2 (baikdariarahkirimulaidari 1,9 maupundari arahkananmulaidari 2,1) didapatharga f yang mendekati 6. Sedangkanuntuk x = 2 harga f adalah 6. • Selanjutnyacobaperhatikanfungsi x lainnyayaitu, (x2+ 1)(x+ 3) x3 + 3x2 + x+ 3 Jikafungsipembilangkitafaktorkan, didapat f(x) = atau f(x) = x2 + 1 untuk x  3 f(x) = x+ 3 x+ 3 Artinya f(x) = x2 +1 takterdefinisiuntuk x = –3. Untuk mengamatiperilakufungsidisekitartitik x = –3 berikut perhatikanTabeldanGrafikfungsi f(x) = x2 +1 untuk x –3 (Gambar 4.2).

  5. y 10,00060001 9,99940001 x –3 0 0,0001 0,0001 • – 2,9999 • – 3,0001 Gambar 4.2

  6. JikakitaperhatikanTabeldanGambardiatasmakakitadapat melihatbahwauntukharga x mendekati –3 makaharga f(x) mendekati 5. Dari uraiandiatasdapatdisimpulkanbahwa: • Jikasebuahfungsiterdefinisipadasuatuselangterbuka yang • memuatbilanganril c tertentu, kecualimungkindititik c itu • sendiri, dan • bila f(x) mendekatibilanganril L tertentupadasaat x • mendekati c, makadapatditulis, f(x) = L (4.1) lim xc dibaca “ limit f(x) adalah L bila x mendekati c” atau “f(x) • mendekati L bila x mendekati c”

  7. y L +   f(x) f(x) - L L f(x) - L  f(x) L -  x c - x c x c +  0 c-x x-c  

  8. Untuk x < c , maka : 0 < c – x < atau 0 > x – c > - Untuk x > c , maka : 0 < c – x <  Dari keduapersamaandiatas, didapat 0<|x – c |< (4.2) Untuk f(x) < L, maka L – f(x) < atau f(x) – L > - Untuk f(x) > L, maka f(x) – L <  Sehinggadidapat |f(x) – L | <  (4.3) Dari Gambar 4.3 danpersamaan 4.1 s/d 4.3 makadidapatdefinisi sebagaiberikut, lim f(x) = L xc Pernyataan , berartiuntuksetiap > 0 terdapat >0 sedemikianrupa , sehinggajika 0 <|x – c|< , maka |f(x) – L |<  (4.4)

  9. 4.3 Limit fungsi Untukmenyederhanakanpermasalahan, berikutdiberikan rumus-rumuspenyelesaian limit yang didapatdengan bantuandefinisi limit. Padarumus-rumusini b, c, k dan L adalahbilangan-bilanganril, a bilanganrilpositif, sedangkan m dan n adalahbilanganrilpositif. • Teorema-teorema 1. x = c (4.5) lim Bukti : Untuksetiap > 0 makaterdapat > 0 sedemikian rupasehingga, jika 0 < |x – c| < , makaterdapat • |x – c| <  xc Jadiuntuk =  didapat |x – c| < 

  10. Contoh 4.1 Bukti : Untuksetiap > 0 makaterdapat > 0 sedemikianrupa sehingga, • jika 0 <| x – c| < , mak a terdapat |k – k| < . • Karena |k – k | = 0, makadefinisiterpenuhi x = 5 k = k = c (4.6) x = –7 a. b. 2. lim lim lim x5 x–7 xc

  11. Contoh 4.1 lim lim xc xc lim lim Bukti xc xc 4 = 4 [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) (4.7) 9 = 9 3. b. a. lim lim lim Dari definisi, untuksetiap > 0 terdapat > 0 sedemikian rupasehingga, • Jika 0<|x – c|<, maka |(f(x) + g(x) – (L1 + L2)|<  • atau • |((f(x) – L 1) + (g(x) – L2))| <  dan g(x) = L2 f(x) = L1 xc x2 x–3

  12. Dari ketidaksamaansegitigadidapat, 1 1 1 2 2 2 |((f(x) – L 1) + (g(x) – L2))|  |f(x) – L1|+|g(x) – L2| atau |((f(x) + g(x)) – (L 1 + L2))|  | f(x) – L1|+|g(x) – L2| Karena f(x) = L1 , makauntuksetiap>0 terdapat 1>0 sedemikianrupa, sehingga lim lim xc xc Selanjutnya, karena g(x) = L2 , makauntuksetiap 1  > 0terdapat2>0 sedemikianrupa, sehingga 2 jika 0 < | x – c| < 1maka |f(x) – L1 <  (*) jika 0 < |x – c|< 2, maka |f(x) – L 2| <  (**)

  13. Dari ketidaksamaansegitigadidapat, 1 1 |(f(x) – L1)+(g(x) – L2|  |f(x) – L1|+|g(x) – L2| atau 2 2 |(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| |f(x) – L1|+|g(x) – L2| (**) Dari (*), (**), dan (***) didapat, |(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| <  +  atau lim lim xc xc |(f(x) + g(x) –(L1+ L2))| <  (terbukti) Contoh 4.3 [f(x) – g(x)] = f(x) – g(x) (4.8) 4. lim lim lim lim (x+6) = x + 6 = 5 + 6 = 11 xc x5 x5 x5 Bukti, ikutipembuktianteorema 3

  14. Bukti lim lim dan Misal xc xc Dari ketidaksamaansegitigadidapat, Contoh 4.4 g(x) = L2 f(x) = L1 [f(x) . g(x)] = f(x) . g(x) (4.9) 5. lim lim lim lim lim lim |f(x) . g(x) – L1L2| = |f(x) . g(x) – L2f(x) + L2f(x) – L1L2|  |f(x)||g(x) – L2f(x)| + |L2||f(x) – L1|  |f(x)||g(x) – L2f(x)| + (1+ |L2|)|f(x) – L1| (i) (7 –x) = 7 – x = 7 – 5 = 2 x5 x5 xc x5 xc xc

  15. Untuksetiap1 > 0 terdapat 1 > 0 sedemikianrupa , sehingga jika 0 < |x – c| < 1, maka |f(x) – L1| < 1 (ii) Dari ketidaksamaansegitigadidapat , |f(x) – L1|  |f(x) – |L1| (iii) Dari (ii) dan (iii) didapat |f(x)| – |L1| < 1atau |f(x)| < |L1| +1 (iv) Denganmengambilnilai 1 = 1, maka |f(x)| < |L1| +1 (v) Untuksetiap2 > 0 terdapat 2 > 0 sedemikianrupa , sehingga jika 0 < |x – c| < 2, maka |f(x) – L2| < 2 (vi)

  16. Denganmengambilnilai 2 = , makadari (vi) didapat, |g(x) – L2| < (vii) Untuksetiap21> 0 terdapat 1 > 0 sedemikianrupa , sehingga , jika 0 < |x – c| < 3, maka |f(x) – L1| < 3 (vii) ½  ½  ½  ½  Denganmengambilnilai 3 = , makadari (vii) 1 + |L1| 1 + |L2| 1 + |L1| 1 + |L1| didapat, |g(x) |– |L1| < (ix)

  17. Selanjutnyadaripersamaan (i), (v), (vii), dan (ix) didapat, Denganmemilih = min(1, 2, 3 ) akandidapatpernyataan, jika 0 < |x – c| < , maka |f(x) – L1| <  (terbukti) ½  ½  Contoh 4.5 1 + |L1| 1 + |L2| lim lim x5 x5 (7 – x)(x + 1) = (7 – x) . (x + 1) lim x5 (7 – 5)(5 + 1) = (2)(6) = 12 |f(x) – L1L2| < (1+|L1|) + (1+|L2|) = 

  18. – = , g(x)  0 (i) |g(x) – L2| f(x) f(x) |g(x)||L2| g(x) g(x) Bukti lim lim f(x) 6. = (4.10) xc xc f(x) . f(x) = = g(x) 1 1 1 1 g(x) g(x) g(x) g(x) Misal f(x) = L1dan = lim lim lim lim lim lim lim xc xc xc xc xc xc xc 1 1 Untuk1 > 0 terdapat 1 > 0 sedemikianrupa, sehingga, L2 L2 jika 0 < |x – c| < 1, maka |g(x) – L2| <1 (ii)

  19. Dari ketidaksamaansegitiga, |g(x) – L2| = | L2– g(x)|  |L2|– |g(x)| (iii) Jadi | L2 – g(x)| <1  |g(x)| >|L2|–1 (iv) Denganmenentukannilai1 = , maka 2 |L2|2 1 1 |L2| |L2| |L2| |g(x)| > |L2| – = g(x) |g(x)| 2 2 2 2 Sehingga < (v) |L2| 1 Selanjutnyadari (i) dan (v) didapat , L2 –  |g(x) – L2| (vi)

  20. Untuk1 > 0 terdapat 2sedemikianrupa, sehingga jika 0 < |x – c|<2, maka |g(x) – L2| < 2 (vii) Denganmenentukannilai1 = , makapersamaan (vii) menjadi, 2 |L2|2 1 1 g(x) g(x) Dari persamaan (i), (v), dan (viii) didapat |g(x) – L2| < (viii) |L2|2 |L2|2 |L2|2 2 2 2 1 1 Denganmemilih = min(1, 2) akandidapatpernyataan, L2 L2 –  = 1 (ix) jika 0 < |x – c| < , maka– < .

  21. Hal inimembuktikanbahwa x f(x) = = 3 – x g(x) L1 lim lim lim lim f(x) L2 xc x–4 x–4 xc g(x) 1 1 Contoh 4.6 g(x) g(x) x f(x) (4.11) [af(x)] = a lim lim lim lim lim lim lim Jadi = f(x) = = (terbukti) xc xc xc xc x–4 xc xc = = = 1 3 – x 1 g(x) L2 –4 –4 3 – (–4) 7 7. Bukti, lihatpersamaan (4.6) dan (4.9)

  22. Contoh 4.7 a. 9x = 9 x = 9e b. 3(4 – x) = 3 (4 – x) = 3(4 –) n f(x) lim 8. xc Bukti [f(x)]n = [f(x)].[f(x)]. … . [f(x)] denganjumlahfaktor f(x) adalah n [f(x)]n = [f(x)]n = [f(x)]n = lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim lim xc xe xe xc x xc xc xc xc x xc [f(x).f(x). … . f(x)] f(x). … . f(x) f(x) . Dari persamaan 4.9 didapat,

  23. Dari persamaan 4.9 didapat, = n Contoh 4.8 7 (x – 3)7 = (x – 3) = (2 – 3) = –1 [f(x)]n = lim lim lim lim lim lim lim x2 xc xc xc x2 xc xc [f(x)] (terbukti) f(x) f(x). … . f(x) .

  24. 9. Teorema Sandwich ( teoremaapit ) Misalterdapat f(x)  h(x)  g(x) untuksetiapharga x pada suatuselangterbuka yang mengandung c, kecualimungkin dititik c itusendiri. Jika f(x) = L = g(x), Bukti : Untuksetiap > 0 terdapat1>0 dan 2>0 sedemikian rupasehingga, maka h(x) = L (4.13) Jika 0 < |x – c| < 1 , maka | f(x) – L| <  Jika 0 < |x – c| < 2 , maka | g(x) – L| <  (*) Untuk = min(1,2) dan 0< |x – c| <, makaketidaksamaan (*) menjadi , –  < f(x) – L < dan–  < g(x) – L < 

  25. Sehingga 0 < |x – c| <  L – < f(x) dan g(x) < L +  Karena f(x)  h(x)  g(x), sehinggajika 0 < |x – c| < , maka L –  < h(x) < L +  atau |h(x) – L | <  (terbukti) Contoh 4.9 Penyelesaian: (kalikansemuasukudengan x2)

  26. 10. Limit sepihak (4.14) Contoh 4.10 Penyelesaian

  27. Karena limit kiri = limit kanan = 5, maka